《2025年本土假期作业巩固训练八年级数学》

1. 若式子$\frac {1}{a - 4}$在实数范围内有意义,则实数$a$的取值范围为(D)
A.$a = 4$
B.$a ＞ 4$
C.$a ＜ 4$
D.$a \neq 4$

答案： 解：要使分式$\frac{1}{a - 4}$在实数范围内有意义，分母不能为0，即$a - 4 \neq 0$，解得$a \neq 4$。
D

2. 下列各分式中,是最简分式的是(C)
A.$\frac {34(x - y)}{85(x - y)}$
B.$\frac {y^{2} - x^{2}}{x + y}$
C.$\frac {x^{2} + y^{2}}{x^{2}y + xy^{2}}$
D.$\frac {x^{2} - y^{2}}{(x + y)^{2}}$

答案： 解：A. $\frac{34(x-y)}{85(x-y)}=\frac{34}{85}=\frac{2}{5}$，不是最简分式。
B. $\frac{y^2 - x^2}{x + y}=\frac{(y - x)(y + x)}{x + y}=y - x$，不是最简分式。
C. $\frac{x^2 + y^2}{x^2y + xy^2}=\frac{x^2 + y^2}{xy(x + y)}$，分子分母没有公因式，是最简分式。
D. $\frac{x^2 - y^2}{(x + y)^2}=\frac{(x - y)(x + y)}{(x + y)^2}=\frac{x - y}{x + y}$，不是最简分式。
答案：C

3. 化简$\frac {m^{2} - 3m}{9 - m^{2}}$的结果是(B)
A.$\frac {m}{m + 3}$
B.$-\frac {m}{m + 3}$
C.$\frac {m}{m - 3}$
D.$\frac {m}{3 - m}$

答案： 解：$\frac{m^2 - 3m}{9 - m^2}$
$=\frac{m(m - 3)}{-(m^2 - 9)}$
$=\frac{m(m - 3)}{-(m + 3)(m - 3)}$
$=-\frac{m}{m + 3}$
B

4. 下列算式中,正确的是(D)
A.$\frac {b}{a - b} - \frac {a}{b - a} = -1$
B.$1 ÷ \frac {b}{a} \cdot \frac {a}{b} = 1$
C.$3a^{-1} = \frac {1}{3a}$
D.$\frac {1}{(a + b)^{2}} \cdot \frac {a^{2} - b^{2}}{a - b} = \frac {1}{a + b}$

答案： 解：A. $\frac{b}{a - b} - \frac{a}{b - a} = \frac{b}{a - b} + \frac{a}{a - b} = \frac{a + b}{a - b} \neq -1$，错误；
B. $1 ÷ \frac{b}{a} \cdot \frac{a}{b} = 1 \cdot \frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} = \frac{a^2}{b^2} \neq 1$，错误；
C. $3a^{-1} = \frac{3}{a} \neq \frac{1}{3a}$，错误；
D. $\frac{1}{(a + b)^2} \cdot \frac{a^2 - b^2}{a - b} = \frac{1}{(a + b)^2} \cdot \frac{(a + b)(a - b)}{a - b} = \frac{1}{a + b}$，正确。
结论：D

5. 当$x = -2$时,分式$\frac {5x - 2}{x + m}$($m$为常数)没有意义；当$x = q$时,分式$\frac {5x - 2}{x + m}的值为3$,则$q$的值是(D)
A.$-2$
B.$2$
C.$-4$
D.$4$

答案： 解：当分式$\frac{5x - 2}{x + m}$没有意义时，分母为$0$，即$x + m = 0$。
因为$x = -2$时分式无意义，所以$-2 + m = 0$，解得$m = 2$。
当$x = q$时，分式的值为$3$，则$\frac{5q - 2}{q + 2} = 3$。
方程两边同乘$q + 2$得：$5q - 2 = 3(q + 2)$
去括号：$5q - 2 = 3q + 6$
移项：$5q - 3q = 6 + 2$
合并同类项：$2q = 8$
解得：$q = 4$
答案：D

6. 如果$m + n = 1$,那么式子$(\frac {2m + n}{m^{2} - mn} + \frac {1}{m}) \cdot (m^{2} - n^{2})$的值为(C)
A.$1$
B.$-1$
C.$3$
D.$-3$

答案： 解：原式$=[\frac{2m+n}{m(m-n)} + \frac{m-n}{m(m-n)}] \cdot (m+n)(m-n)$
$=\frac{2m+n + m - n}{m(m - n)} \cdot (m + n)(m - n)$
$=\frac{3m}{m(m - n)} \cdot (m + n)(m - n)$
$=3(m + n)$
因为$m + n = 1$，所以原式$=3×1 = 3$
答案：C

7. 某市为解决冬季取暖问题需铺设一条长$3500$米的管道,为尽量减少施工对交通造成的影响,实际施工时…“”,设实际每天铺设管道$x$米,则可得方程$\frac {3500}{x - 10} - \frac {3500}{x} = 15$,根据此情景,题中用…“”表示的缺失的条件应补为(A)
A.每天比原计划多铺设$10$米,结果提前$15$天完成
B.每天比原计划少铺设$10$米,结果延期$15$天完成
C.每天比原计划少铺设$15$米,结果延期$10$天完成
D.每天比原计划多铺设$15$米,结果提前$10$天完成

答案： 解：设实际每天铺设管道$x$米。方程中$x - 10$表示原计划每天铺设的长度，$\frac{3500}{x - 10}$是原计划完成天数，$\frac{3500}{x}$是实际完成天数，两者差为$15$天，说明原计划天数比实际天数多$15$天，即实际每天比原计划多铺设$10$米，提前$15$天完成。
A

8. 按照如图所示的流程,若输出的$M = -6$,则输入的$m$为(C)
A.$3$
B.$1$
C.$0$
D.$-1$

答案： 解：情况一：若$m^2 - 2m \geq 0$，则$M = \frac{6}{m - 1}$。
由$M = -6$，得$\frac{6}{m - 1} = -6$，解得$m = 0$。
检验：$m = 0$时，$m^2 - 2m = 0 - 0 = 0 \geq 0$，符合条件。
情况二：若$m^2 - 2m ＜ 0$，则$M = m - 3$。
由$M = -6$，得$m - 3 = -6$，解得$m = -3$。
检验：$m = -3$时，$m^2 - 2m = 9 + 6 = 15 ＞ 0$，不符合条件，舍去。
综上，输入的$m$为$0$。
答案：C

9. 定义一种新运算：$\int_{b}^{a}n \cdot x^{n - 1}dx = a^{n} - b^{n}$,例如：$\int_{h}^{k}2 \cdot xdx = k^{2} - h^{2}$。若$\int_{5m}^{m}-x^{-2}dx = -2$,则$m = $(B)
A.$-2$
B.$-\frac {2}{5}$
C.$2$
D.$\frac {2}{5}$

答案： 解：根据新运算定义，设$n - 1=-2$，则$n=-1$。
此时$\int_{b}^{a}n \cdot x^{n - 1}dx = a^{n} - b^{n}$可化为$\int_{b}^{a}-1 \cdot x^{-2}dx = a^{-1} - b^{-1}$。
对比$\int_{5m}^{m}-x^{-2}dx$，可得$a = m$，$b = 5m$。
所以$\int_{5m}^{m}-x^{-2}dx = m^{-1} - (5m)^{-1} = \frac{1}{m} - \frac{1}{5m} = \frac{4}{5m}$。
已知$\int_{5m}^{m}-x^{-2}dx=-2$，则$\frac{4}{5m}=-2$。
解得$m = -\frac{2}{5}$。
答案：B

10. 若关于$x的一元一次不等式组\left\{\begin{array}{l} \frac {3x - 1}{2} \leq x + 3,\\ x \leq a\end{array} \right.的解集为x \leq a$；且关于$y的分式方程\frac {y - a}{y - 2} + \frac {3y - 4}{y - 2} = 1$有正整数解,则所有满足条件的整数$a$的值之积是(A)
A.$7$
B.$-14$
C.$28$
D.$-56$

答案： 解：解不等式组$\left\{\begin{array}{l} \frac {3x - 1}{2} \leq x + 3,\\ x \leq a\end{array}\right.$
解$\frac{3x - 1}{2} \leq x + 3$，得$3x - 1 \leq 2x + 6$，$x \leq 7$。
因为解集为$x \leq a$，所以$a \leq 7$。
解分式方程$\frac{y - a}{y - 2} + \frac{3y - 4}{y - 2} = 1$
方程两边同乘$y - 2$，得$y - a + 3y - 4 = y - 2$
$4y - a - 4 = y - 2$，$3y = a + 2$，$y = \frac{a + 2}{3}$。
因为方程有正整数解，且$y \neq 2$，
所以$\frac{a + 2}{3}$为正整数，且$\frac{a + 2}{3} \neq 2$。
$\frac{a + 2}{3} ＞ 0$，得$a ＞ - 2$；$\frac{a + 2}{3} \neq 2$，得$a \neq 4$。
又$a \leq 7$且为整数，$\frac{a + 2}{3}$为正整数，
则$a + 2 = 3, 6, 9$（$9$时$a=7$），即$a=1, 4, 7$，又$a \neq 4$，所以$a=1, 7$。
所有满足条件的整数$a$的值之积为$1×7=7$。
答案：A