《2025年本土假期作业巩固训练八年级数学》

16. 分式中,在分子、分母都是整式的情况下,如果分子的次数低于分母的次数,称这样的分式为真分式. 例如,分式 $\frac {4}{x + 2}$,$\frac {3x^{2}}{x^{3}-4x}$ 是真分式. 如果分子的次数不低于分母的次数,称这样的分式为假分式. 例如,分式 $\frac {x + 1}{x - 1}$,$\frac {x^{2}}{x + 1}$ 是假分式. 一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和. 例如,$\frac {x + 1}{x - 1}= \frac {(x - 1)+2}{x - 1}= 1+\frac {2}{x - 1}$.
(1)将假分式 $\frac {2x - 1}{x + 1}$ 化为一个整式与一个真分式的和；
(2)若分式 $\frac {x^{2}}{x + 1}$ 的值为整数,求 $x$ 的整数值.

答案： 【解析】：
(1) 对于假分式 $\frac {2x - 1}{x + 1}$，我们可以采用类似的方法，将其化为一个整式与一个真分式的和。
首先，将分子进行拆分，得到：
$\frac {2x - 1}{x + 1} = \frac {2x + 2 - 3}{x + 1}$
然后，将拆分后的分子分别除以分母，得到：
$= \frac {2x + 2}{x + 1} - \frac {3}{x + 1}$
$= 2 - \frac {3}{x + 1}$
(2) 对于分式 $\frac {x^{2}}{x + 1}$，我们可以先将其化为一个整式与一个真分式的和，然后根据整数值的条件求解 $x$。
首先，将分子进行拆分，得到：
$\frac {x^{2}}{x + 1} = \frac {x^{2} - 1 + 1}{x + 1}$
然后，将拆分后的分子分别除以分母，得到：
$= \frac {x^{2} - 1}{x + 1} + \frac {1}{x + 1}$
$= x - 1 + \frac {1}{x + 1}$
由于分式的值为整数，所以真分式部分 $\frac {1}{x + 1}$ 必须为整数，即分母 $x + 1$ 必须为 $\pm 1$。
解得 $x = 0$ 或 $x = -2$。
当 $x + 1 = 1$ 时，$x = 0$；
当 $x + 1 = -1$ 时，$x = -2$。
所以，若 $\frac {x^{2}}{x + 1}$ 的值为整数，则 $x$ 的整数值为 $0$ 或 $-2$。
【答案】：
(1) $\frac {2x - 1}{x + 1} = 2 - \frac {3}{x + 1}$
(2) $x$ 的整数值为 $0$ 或 $-2$

17. 两个小组同时从甲地出发,匀速步行到乙地,甲、乙两地相距 7.5 千米,第一组步行的速度是第二组的 1.2 倍,并且比第二组早 $\frac {1}{4}$ 小时到达乙地.
(1)求第二组的步行速度；
(2)返回时,第二小组为了加快速度,准备进行提速,现有两种方案：
方案 1：前半程速度为 $a$,后半程速度为 $b$；
方案 2：全程速度均为 $\frac {1}{2}(a + b)$；(方案中速度单位均为千米/小时)
其中 $a$ 和 $b$ 是不相等的正数,请比较哪种方案平均速度更快,并说明你的理由.

答案： 【解析】：
本题考查分式方程和速度公式的应用。
(1) 设第二组的步行速度为 $x$ 千米/小时。
根据题意，第一组的步行速度是 $1.2x$ 千米/小时。
根据速度、时间和距离的关系，第二组用时 $\frac{7.5}{x}$ 小时，第一组用时 $\frac{7.5}{1.2x}$ 小时。
根据题意，第一组比第二组早到 $\frac{1}{4}$ 小时，因此可以列出方程：
$\frac{7.5}{x} - \frac{7.5}{1.2x} = \frac{1}{4}$
解这个方程，我们得到 $x = 5$ 千米/小时。
(2) 要比较两种方案的平均速度，我们需要使用速度的定义：
$\text{平均速度} = \frac{\text{总路程}}{\text{总时间}}$
方案1：
设全程距离为 $D$，前半程和后半程各为 $\frac{D}{2}$。
前半程用时 $\frac{D}{2a}$，后半程用时 $\frac{D}{2b}$。
因此，平均速度 $v_1 = \frac{D}{\frac{D}{2a} + \frac{D}{2b}} = \frac{2ab}{a + b}$。
方案2：
全程用时 $\frac{D}{\frac{1}{2}(a + b)}$，因此平均速度 $v_2 = \frac{D}{\frac{D}{\frac{1}{2}(a + b)}} = \frac{a + b}{2}$。
利用不等式 $\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$（当且仅当 $a = b$ 时取等号），
我们可以得出 $v_2 \geq v_1$，因为 $a \neq b$，所以 $v_2 ＞ v_1$。
【答案】：
(1) 第二组的步行速度是 $5$ 千米/小时。
(2) 方案2的平均速度更快。理由：方案2的平均速度为 $\frac{a + b}{2}$，而方案1的平均速度为 $\frac{2ab}{a + b}$。
由于 $a \neq b$，根据不等式 $\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$，我们可以得出方案2的平均速度大于方案1的平均速度。