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2025年本土假期作业巩固训练八年级数学
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2025年本土假期作业巩固训练八年级数学 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
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2. 若分式$\frac{|a| - 2}{a + 2}$的值为零,则 a 的值是(
A.$±2$
B.-2
C.2
D.0
C
)A.$±2$
B.-2
C.2
D.0
答案：
【解析】：
首先，我们根据题意知道分式的值为零，即：
$\frac{|a| - 2}{a + 2} = 0$
要使分式的值为零，必须满足两个条件：
1. 分子 $|a| - 2 = 0$
2. 分母 $a + 2 \neq 0$
对于第一个条件 $|a| - 2 = 0$，我们可以得到两个可能的
$a = 2$ 或 $a = -2$
但是，对于第二个条件 $a + 2 \neq 0$，我们可以排除 $a = -2$ 这个解。
因此，唯一满足条件的解是 $a = 2$。
【答案】：
C. $2$
首先，我们根据题意知道分式的值为零，即：
$\frac{|a| - 2}{a + 2} = 0$
要使分式的值为零，必须满足两个条件：
1. 分子 $|a| - 2 = 0$
2. 分母 $a + 2 \neq 0$
对于第一个条件 $|a| - 2 = 0$，我们可以得到两个可能的
$a = 2$ 或 $a = -2$
但是，对于第二个条件 $a + 2 \neq 0$，我们可以排除 $a = -2$ 这个解。
因此，唯一满足条件的解是 $a = 2$。
【答案】：
C. $2$
3. 若$\frac{9x}{9 - △}$是一个最简分式,则△可以是(
A.x
B.$\frac{1}{3}$
C.3
D.3x
A
)A.x
B.$\frac{1}{3}$
C.3
D.3x
答案：
解：A. 当△=x时，原式为$\frac{9x}{9 - x}$，分子9x与分母9 - x没有公因式，是最简分式；
B. 当△=$\frac{1}{3}$时，原式为$\frac{9x}{9 - \frac{1}{3}}=\frac{9x}{\frac{26}{3}}=\frac{27x}{26}$，是整式形式，不是分式；
C. 当△=3时，原式为$\frac{9x}{9 - 3}=\frac{9x}{6}=\frac{3x}{2}$，不是最简分式；
D. 当△=3x时，原式为$\frac{9x}{9 - 3x}=\frac{9x}{3(3 - x)}=\frac{3x}{3 - x}$，不是最简分式。
结论：△可以是x。
答案：A
B. 当△=$\frac{1}{3}$时，原式为$\frac{9x}{9 - \frac{1}{3}}=\frac{9x}{\frac{26}{3}}=\frac{27x}{26}$，是整式形式，不是分式；
C. 当△=3时，原式为$\frac{9x}{9 - 3}=\frac{9x}{6}=\frac{3x}{2}$，不是最简分式；
D. 当△=3x时，原式为$\frac{9x}{9 - 3x}=\frac{9x}{3(3 - x)}=\frac{3x}{3 - x}$，不是最简分式。
结论：△可以是x。
答案：A
4. 若将分式$\frac{x + y}{x - 2y}$中的 x,y 的值都变为它们的相反数,则变化后分式的值(
A.1
B.-1
C.变为相反数
D.不变
D
)A.1
B.-1
C.变为相反数
D.不变
答案：
【解析】：
本题主要考察分式的基本性质和代数运算。
首先，根据题目要求，将$x$和$y$都变为它们的相反数，即$x \rightarrow -x$，$y \rightarrow -y$。
原分式为：
$\frac{x + y}{x - 2y}$
将$x$和$y$替换为它们的相反数后，分式变为：
$\frac{-x - y}{-x + 2y}$
为了简化这个表达式，可以同时改变分子和分母的符号，得到：
$\frac{x + y}{x - 2y}$
这与原分式完全相同。
【答案】：
D. 不变。
本题主要考察分式的基本性质和代数运算。
首先，根据题目要求，将$x$和$y$都变为它们的相反数，即$x \rightarrow -x$，$y \rightarrow -y$。
原分式为：
$\frac{x + y}{x - 2y}$
将$x$和$y$替换为它们的相反数后，分式变为：
$\frac{-x - y}{-x + 2y}$
为了简化这个表达式，可以同时改变分子和分母的符号，得到：
$\frac{x + y}{x - 2y}$
这与原分式完全相同。
【答案】：
D. 不变。
5. 对于分式$\frac{x - n}{x - m}$(m,n 为常数),若当$x≥0$时,该分式总有意义；当$x = 0$时,该分式的值为负数.则 m,n 与 0 的大小关系正确的是(
A.$m＜0＜n$
B.$0＜m＜n$
C.$n＜0＜m$
D.$0＜n＜m$
A
)A.$m＜0＜n$
B.$0＜m＜n$
C.$n＜0＜m$
D.$0＜n＜m$
答案：
解：
1. 分式有意义条件：分母不为0，即$x - m \neq 0$，$x \neq m$。
当$x \geq 0$时，分式总有意义，故$m ＜ 0$（若$m \geq 0$，则$x = m$时分母为0，矛盾）。
2. 当$x = 0$时，分式值为负数：
$\frac{0 - n}{0 - m} = \frac{-n}{-m} = \frac{n}{m} ＜ 0$。
由$m ＜ 0$，得$n ＞ 0$（异号相除为负）。
综上：$m ＜ 0 ＜ n$。
答案：A
1. 分式有意义条件：分母不为0，即$x - m \neq 0$，$x \neq m$。
当$x \geq 0$时，分式总有意义，故$m ＜ 0$（若$m \geq 0$，则$x = m$时分母为0，矛盾）。
2. 当$x = 0$时，分式值为负数：
$\frac{0 - n}{0 - m} = \frac{-n}{-m} = \frac{n}{m} ＜ 0$。
由$m ＜ 0$，得$n ＞ 0$（异号相除为负）。
综上：$m ＜ 0 ＜ n$。
答案：A
6. 分式$\frac{3}{3x - 2},\frac{1}{x^{2}+x},\frac{x}{x^{2}-x}$的最简公分母是
$x(3x - 2)(x + 1)(x - 1)$
.
答案：
解：分别对各分母进行因式分解：
$3x - 2$ 已是最简形式；
$x^2 + x = x(x + 1)$；
$x^2 - x = x(x - 1)$。
最简公分母为各分母因式的最高次幂的乘积，即 $x(3x - 2)(x + 1)(x - 1)$。
$x(3x - 2)(x + 1)(x - 1)$
$3x - 2$ 已是最简形式；
$x^2 + x = x(x + 1)$；
$x^2 - x = x(x - 1)$。
最简公分母为各分母因式的最高次幂的乘积，即 $x(3x - 2)(x + 1)(x - 1)$。
$x(3x - 2)(x + 1)(x - 1)$
7. 观察下列分式：$-\frac{2}{x^{2}},\frac{5}{x^{3}},-\frac{10}{x^{4}},\frac{17}{x^{5}},-\frac{26}{x^{6}},…$,猜想并探索规律,第 n 个分式是____.
$(-1)^{n}\frac{n^{2} + 1}{x^{n + 1}}$
答案：
【解析】：
本题主要考察分式的规律识别与推理能力。
首先，观察给出的分式序列：$-\frac{2}{x^{2}},\frac{5}{x^{3}},-\frac{10}{x^{4}},\frac{17}{x^{5}},-\frac{26}{x^{6}},…$，
可以从符号、分子、分母三个方面来寻找规律。
1. 符号：
可以看出，当$n=1$时，分式是负的；当$n=2$时，分式是正的；当$n=3$时，分式又是负的；以此类推。
因此，可以推断出当$n$为奇数时，分式是负的；当$n$为偶数时，分式是正的。
这可以用$(-1)^{n}$来表示，当$n$为奇数时，$(-1)^{n}=-1$；当$n$为偶数时，$(-1)^{n}=1$。
2. 分子：
观察分子序列：2, 5, 10, 17, 26, …，可以发现这些数可以表示为$n^{2}+1$的形式。
具体来说，当$n=1$时，$n^{2}+1=2$；当$n=2$时，$n^{2}+1=5$；以此类推。
3. 分母：
观察分母序列：$x^{2},x^{3},x^{4},x^{5},x^{6},…$，可以看出分母是$x$的$n+1$次方，即$x^{n+1}$。
综合以上三点，可以得出第$n$个分式的一般形式为$(-1)^{n}\frac{n^{2} + 1}{x^{n + 1}}$。
【答案】：
$(-1)^{n}\frac{n^{2} + 1}{x^{n + 1}}$
本题主要考察分式的规律识别与推理能力。
首先，观察给出的分式序列：$-\frac{2}{x^{2}},\frac{5}{x^{3}},-\frac{10}{x^{4}},\frac{17}{x^{5}},-\frac{26}{x^{6}},…$，
可以从符号、分子、分母三个方面来寻找规律。
1. 符号：
可以看出，当$n=1$时，分式是负的；当$n=2$时，分式是正的；当$n=3$时，分式又是负的；以此类推。
因此，可以推断出当$n$为奇数时，分式是负的；当$n$为偶数时，分式是正的。
这可以用$(-1)^{n}$来表示，当$n$为奇数时，$(-1)^{n}=-1$；当$n$为偶数时，$(-1)^{n}=1$。
2. 分子：
观察分子序列：2, 5, 10, 17, 26, …，可以发现这些数可以表示为$n^{2}+1$的形式。
具体来说，当$n=1$时，$n^{2}+1=2$；当$n=2$时，$n^{2}+1=5$；以此类推。
3. 分母：
观察分母序列：$x^{2},x^{3},x^{4},x^{5},x^{6},…$，可以看出分母是$x$的$n+1$次方，即$x^{n+1}$。
综合以上三点，可以得出第$n$个分式的一般形式为$(-1)^{n}\frac{n^{2} + 1}{x^{n + 1}}$。
【答案】：
$(-1)^{n}\frac{n^{2} + 1}{x^{n + 1}}$
8. 生活中有这么一个现象：“有一杯 a 克的糖水里含有 b 克糖,如果在这杯糖水里再加入 m 克糖(仍不饱和),则糖水更甜了”,其中$a＞b＞0,m＞0$.
(1)加入 m 克糖之前糖水的含糖率$A = $
(2)请你解释一下这个生活中的现象.
(1)加入 m 克糖之前糖水的含糖率$A = $
$\frac{b}{a}$
；加入 m 克糖之后糖水的含糖率$B = $$\frac{b+m}{a+m}$
；(2)请你解释一下这个生活中的现象.
由于$B - A=\frac{m(a - b)}{a(a + m)}＞0$，即$B＞A$，所以加入m克糖后，糖水的含糖率增加，糖水变得更甜。
答案：
【解析】：
本题主要考查分式的应用以及不等式的性质。
(1) 在加入m克糖之前，糖水的总质量为a克，其中糖的质量为b克。因此，含糖率A可以表示为糖的质量除以糖水的总质量，即 $A = \frac{b}{a}$。
在加入m克糖后，糖的总质量变为 $b+m$ 克，而糖水的总质量变为 $a+m$ 克。因此，新的含糖率B可以表示为 $B = \frac{b+m}{a+m}$。
(2) 要解释糖水更甜的现象，我们需要比较加入糖前后的含糖率。即比较A与B的大小。
我们计算B与A的差：
$B - A = \frac{b+m}{a+m} - \frac{b}{a}$
$= \frac{a(b+m) - b(a+m)}{a(a+m)}$
$= \frac{ab + am - ab - bm}{a(a+m)}$
$= \frac{am - bm}{a(a+m)}$
$= \frac{m(a-b)}{a(a+m)}$
由于题目给出 $a ＞ b ＞ 0$ 且 $m ＞ 0$，因此 $a-b ＞ 0$，$a+m ＞ 0$。
所以，$\frac{m(a-b)}{a(a+m)} ＞ 0$，即 $B - A ＞ 0$。
因此，我们得出 $B ＞ A$，这解释了为什么加入m克糖后，糖水变得更甜。
【答案】：
(1) 加入m克糖之前糖水的含糖率 $A = \frac{b}{a}$；加入m克糖之后糖水的含糖率 $B = \frac{b+m}{a+m}$。
(2) 由于 $B - A = \frac{m(a-b)}{a(a+m)} ＞ 0$，所以加入m克糖后，糖水的含糖率增加，即糖水变得更甜。
本题主要考查分式的应用以及不等式的性质。
(1) 在加入m克糖之前，糖水的总质量为a克，其中糖的质量为b克。因此，含糖率A可以表示为糖的质量除以糖水的总质量，即 $A = \frac{b}{a}$。
在加入m克糖后，糖的总质量变为 $b+m$ 克，而糖水的总质量变为 $a+m$ 克。因此，新的含糖率B可以表示为 $B = \frac{b+m}{a+m}$。
(2) 要解释糖水更甜的现象，我们需要比较加入糖前后的含糖率。即比较A与B的大小。
我们计算B与A的差：
$B - A = \frac{b+m}{a+m} - \frac{b}{a}$
$= \frac{a(b+m) - b(a+m)}{a(a+m)}$
$= \frac{ab + am - ab - bm}{a(a+m)}$
$= \frac{am - bm}{a(a+m)}$
$= \frac{m(a-b)}{a(a+m)}$
由于题目给出 $a ＞ b ＞ 0$ 且 $m ＞ 0$，因此 $a-b ＞ 0$，$a+m ＞ 0$。
所以，$\frac{m(a-b)}{a(a+m)} ＞ 0$，即 $B - A ＞ 0$。
因此，我们得出 $B ＞ A$，这解释了为什么加入m克糖后，糖水变得更甜。
【答案】：
(1) 加入m克糖之前糖水的含糖率 $A = \frac{b}{a}$；加入m克糖之后糖水的含糖率 $B = \frac{b+m}{a+m}$。
(2) 由于 $B - A = \frac{m(a-b)}{a(a+m)} ＞ 0$，所以加入m克糖后，糖水的含糖率增加，即糖水变得更甜。
专题 2 分式的运算
知识清单
1. 分式的乘除
(1)两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.
(2)两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，再与被除式
2. 分式的加减
(1)同分母的分式相加减，分母
(2)异分母分式的加减，先通分，化为
3. 分式混合运算的运算顺序
(1)先乘方，再乘除，最后加减，同级运算从左到右依次运算.
(2)有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分.
知识清单
1. 分式的乘除
(1)两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.
(2)两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，再与被除式
相乘
.2. 分式的加减
(1)同分母的分式相加减，分母
不变
，把分子相加减.(2)异分母分式的加减，先通分，化为
同分母
的分式，然后再按同分母的分式的加减法法则进行计算.用式子表示为：$\frac{a}{b}±\frac{d}{c}=\frac{ac}{bc}±\frac{bd}{bc}=\frac{ac±bd}{bc}$.3. 分式混合运算的运算顺序
(1)先乘方，再乘除，最后加减，同级运算从左到右依次运算.
(2)有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分.
答案：
1.
(2)相乘
2.
(1)不变
(2)同分母
(2)相乘
2.
(1)不变
(2)同分母
例 1 化简：$\frac{a^{2}-9}{a^{2}+6a + 9}÷\frac{a - 3}{a}= \frac{a}{a + 3}$.
答案：
解：原式$=\frac{a^{2}-9}{a^{2}+6a + 9}×\frac{a}{a - 3}$
$=\frac{(a+3)(a-3)}{(a+3)^{2}}×\frac{a}{a - 3}$
$=\frac{a}{a + 3}$
$=\frac{(a+3)(a-3)}{(a+3)^{2}}×\frac{a}{a - 3}$
$=\frac{a}{a + 3}$
例 2 先化简,再求值：$(\frac{x - 1}{x - 2}-\frac{2}{x - 2})÷\frac{x^{2}-6x + 9}{x - 2}$,其中$x = 2023$.
答案：
解：原式$=\frac{x - 1 - 2}{x - 2}÷\frac{x^{2}-6x + 9}{x - 2}$
$=\frac{x - 3}{x - 2}·\frac{x - 2}{(x - 3)^{2}}$
$=\frac{1}{x - 3}$.
当$x = 2023$时，原式$=\frac{1}{2023 - 3}=\frac{1}{2020}$.
$=\frac{x - 3}{x - 2}·\frac{x - 2}{(x - 3)^{2}}$
$=\frac{1}{x - 3}$.
当$x = 2023$时，原式$=\frac{1}{2023 - 3}=\frac{1}{2020}$.
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