《2025年本土假期作业巩固训练八年级数学》

专题 2 矩形的判定
知识清单
1. 矩形的判定
(1)定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形.
(2)定理 1:有三个角是直角的四边形是矩形.
定理 2:对角线相等的平行四边形是矩形.
2. 说明:矩形的判定,除去用“三个角为直角”的方法以外,都要先确定四边形是平行四边形,再利用矩形的特殊性判定.

答案： 1.
(1)一个角是直角
(2)三个角是直角；对角线相等

例 1 在平行四边形 ABCD 中,若增加一个条件可使四边形 ABCD 成为矩形,增加的条件是 (  )

A.AD= CD
B.AC= 2AB
C.AC⊥BD
D.∠A+∠C= 180°

答案： 【解析】：
本题考查平行四边形的性质以及矩形的判定。
首先，我们分析选项A：$AD=CD$。在平行四边形中，对边相等是基本性质，所以$AD=CD$并不能使平行四边形ABCD成为矩形。
接着看选项B：$AC=2AB$。这个条件并不能直接推导出平行四边形ABCD的任何内角为直角，因此也不能使平行四边形成为矩形。
然后是选项C：$AC⊥BD$。这个条件说明平行四边形的两条对角线互相垂直，但这只能判定平行四边形为菱形，并不能判定为矩形。
最后是选项D：$\angle A + \angle C = 180^\circ$。由于平行四边形的对角相等，即$\angle A = \angle C$，结合这个条件我们可以得出$\angle A = \angle C = 90^\circ$。在平行四边形中，如果有一个角是直角，那么其它三个角也都是直角，从而判定平行四边形为矩形。
【答案】：
D

例 2 如图,过四边形 ABCD 的四个顶点分别作对角线 AC,BD 的平行线,如所围成的四边形 EFGH 是矩形,则原四边形 ABCD 需满足的条件是____.(只需写出一个符合要求的条件)

答案： 【解析】：
根据平行公理的推论，过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC，BD的平行线，所围成的四边形EFGH中，$EF// GH$，$EH// FG$，所以四边形EFGH是平行四边形。
要使平行四边形EFGH成为矩形，根据矩形的判定定理，需要一个内角为$90^{\circ}$。
因为$BD// EG$，$AC// FH$，当$AC\perp BD$时，$EG\perp FH$（一条直线垂直于一组平行线中的一条直线，那么它也垂直于另一条直线），进而可以推出$\angle E = 90^{\circ}$，此时平行四边形EFGH是矩形。
【答案】：
$AC\perp BD$

例 3 如图,在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,AC= 6,BC= 8,点 D 在 AB 边上,DE⊥AC,DF⊥BC,垂足分别为 E,F,连结 EF,则线段 EF 的最小值为____.

答案： 【解析】：
本题主要考察了矩形、菱形与正方形的性质，勾股定理以及垂线段最短的性质。
首先，利用勾股定理求出直角三角形的斜边AB的长度。
接着，由于DE垂直于AC，DF垂直于BC，且∠C为90°，所以四边形CFDE是矩形。
根据矩形的性质，我们知道矩形的对角线相等，即EF=CD。
为了使EF最小，我们需要找到CD的最小值。根据垂线段最短的性质，当CD垂直于AB时，CD的长度最小。
此时，我们可以利用三角形的面积公式来求解CD的长度。
三角形ABC的面积为$\frac{1}{2} × AC × BC$，也可以表示为$\frac{1}{2} × AB × CD$。
将已知的AC，BC，和求得的AB代入面积公式，即可求出CD的长度。
计算过程如下：
1. 利用勾股定理求AB：
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$
2. 利用三角形面积公式求CD：
$\frac{1}{2} × AC × BC = \frac{1}{2} × AB × CD$
$6 × 8 = 10 × CD$
$CD = 4.8$
由于EF=CD，所以EF的最小值为4.8。
【答案】：
4.8

例 4 如图所示,已知 E 是平行四边形 ABCD 中 BC 边的中点,连结 AE 并延长,交 DC 的延长线于点 F,连结 AC,BF,若∠AEC= 2∠ABC.
(1)求证:四边形 ABFC 为矩形;
(2)若△AFD 是边长为 4 的等边三角形,求四边形 ABFC 的面积.

答案： 【解析】：
(1)证明四边形ABFC为矩形，需要先证明它是平行四边形，再证明其对角线相等。
已知E是BC的中点，所以$BE=CE$。
由于ABCD是平行四边形，所以$AB// DC$，从而$\angle ABE = \angle ECF$。
根据三角形的全等定理，可以证明△ABE≌△FCE（A.S.A），从而$AE=EF$，$AB=CF$。
由于AE和EF相等，且BE和CE相等，所以四边形ABFC的对角线AF和BC相等，即$AF=BC$。
根据平行四边形的性质，对角线相等的平行四边形是矩形，所以四边形ABFC是矩形。
(2)求四边形ABFC的面积，需要先求出其高和底。
已知△AFD是边长为4的等边三角形，所以$\angle AFC=60°$，$AF=DF=4$。
由于四边形ABCD是平行四边形，所以$AB=CD$。
由于四边形ABFC是矩形，所以其对角线AF和BC相等，且$\angle ACF=90°$。
根据勾股定理，可以求出$AC=\sqrt{AF^2 - CF^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = 2\sqrt{3}$。
矩形面积等于长乘以宽，所以四边形ABFC的面积$S_{矩形ABFC} = AC × CF = 2\sqrt{3} × 2 = 4\sqrt{3}$。
【答案】：
(1)证明：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴$AB// DC$，
∴$\angle ABE = \angle ECF$，
∵E为BC的中点，
∴$BE=CE$，
在△ABE和△FCE中，
$\left\{ \begin{array}{l} \angle ABE = \angle ECF, \\ BE = CE, \\ \angle AEB = \angle FEC. \end{array} \right.$
∴△ABE≌△FCE（A.S.A），
∴$AE=EF$，$AB=CF$，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∵$\angle AEC = 2\angle ABC = \angle ABC + \angle BAE$，
∴$\angle ABC = \angle BAE$，
∴$AE=BE$，
∵$AE=EF$，$BE=CE$，
∴$AF=BC$，
∴平行四边形ABFC是矩形。
(2)解：
∵△AFD是边长为4的等边三角形，
∴$\angle AFC = 60°$，$AF = DF = 4$，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AB = CD$，
∵四边形ABFC是矩形，
∴$AB = CF = CD = 2$，$\angle ACF = 90°$，
∴$AC = \sqrt{AF^2 - CF^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = 2\sqrt{3}$，
∴$S_{矩形ABFC} = AC × CF = 2\sqrt{3} × 2 = 4\sqrt{3}$。