《2025年本土假期作业巩固训练八年级数学》

23. 已知点$A(1,a)$,点$B的横坐标为m(m ＞ 1)均在正比例函数y = 2x$的图象上,反比例函数$y = \frac{k}{x}的图象经过点A$,过点$B作BD \perp x轴于点D$,交反比例函数$y = \frac{k}{x}的图象于点C$,连结$AC$。
(1)当$m = 2$时,求直线$AC$的解析式；
(2)当$AB = 2OA$时,求$BC$的长；
(3)是否存在一个$m$,使得$S_{\triangle BOD} = 3S_{\triangle OCD}$,若存在,求出$m$的值,不存在,说明理由。

答案： 【解析】：本题主要考查了正比例函数、反比例函数的性质，以及直线解析式的求解、线段长度的计算和三角形面积公式的应用。
（1）首先，由于点$A(1,a)$在正比例函数$y = 2x$上，代入得$a = 2 × 1 = 2$，所以点$A$的坐标为$(1,2)$。
又因为反比例函数$y = \frac{k}{x}$经过点$A$，代入得$k = 2 × 1 = 2$，所以反比例函数的解析式为$y = \frac{2}{x}$。
当$m = 2$时，点$B$的坐标为$(2, 4)$（因为点$B$在正比例函数$y = 2x$上）。
由于$BD \perp x$轴，所以点$D$的坐标为$(2, 0)$。
又因为点$C$在反比例函数$y = \frac{2}{x}$上，且$x = 2$，所以点$C$的坐标为$(2, 1)$。
设直线$AC$的解析式为$y = mx + n$，代入点$A(1,2)$和点$C(2,1)$，得到方程组：
$\left\{\begin{matrix}m + n = 2,\\2m + n = 1.\end{matrix}\right.$
解此方程组得$m = -1$，$n = 3$。
所以直线$AC$的解析式为$y = -x + 3$。
（2）由（1）知，点$A$的坐标为$(1,2)$，所以$OA = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$。
由于$AB = 2OA$，所以$AB = 2\sqrt{5}$。
又因为点$B$的坐标为$(m, 2m)$（因为点$B$在正比例函数$y = 2x$上），点$C$的坐标为$(m, \frac{2}{m})$（因为点$C$在反比例函数$y = \frac{2}{x}$上）。
利用两点间的距离公式，可以得到：
$AB^2 = (m - 1)^2 + (2m - 2)^2 = 5(m - 1)^2 = (2\sqrt{5})^2$，
解此方程得$m = 3$或$m = -1$（舍去，因为$m ＞ 1$）。
所以点$B$的坐标为$(3, 6)$，点$C$的坐标为$(3, \frac{2}{3})$。
因此，$BC = 6 - \frac{2}{3} = \frac{16}{3}$。
（3）存在。
理由：由（2）知，点$B$的坐标为$(m, 2m)$，点$C$的坐标为$(m, \frac{2}{m})$。
所以$S_{\triangle BOD} = \frac{1}{2} × m × 2m = m^2$，
$S_{\triangle OCD} = \frac{1}{2} × m × \frac{2}{m} = 1$（因为$OD$为底，$OC$为高）。
由题意知，$S_{\triangle BOD} = 3S_{\triangle OCD}$，所以$m^2 = 3 × 1$，
解此方程，舍去$m=-\sqrt 3$，
得$m = \sqrt{3}$（因为$m ＞ 1$，所以只取正值）。
【答案】：（1）$y = -x + 3$；（2）$\frac{16}{3}$；（3）$m = \sqrt{3}$。

24. 小明设计了杠杆平衡实验：如图,取一根长 70 cm 质地均匀的木杆,用细绳绑在木杆的中点$O$处并将其吊起来,在左侧距离中点$O$ 20 cm 处挂一个重 9 N 的物体,为了保持木杆水平(动力$×动力臂= 阻力×$阻力臂),在中点$O$右侧用一个弹簧测力计竖直向下拉,改变弹簧测力计与中点$O的距离L$(单位：cm),看弹簧测力计的示数$F$(单位：N)有什么变化,小明在做此活动时,得到下表的数据。
| |第1组|第2组|第3组|第4组|
|$L/cm$|20|24|28|30|
|$F/N$|9|7.5|10|6|
(1)表中第3组数据是明显错误的；
(2)在已学过的函数中选择合适的模型,求$F关于L$的函数解析式；
解：由杠杆平衡条件得$F× L=9×20$，即$F=\frac{180}{L}$
(3)若弹簧测力计的最大量程是 10 N,求$L$的取值范围。
解：当$F=10$时，$10=\frac{180}{L}$，解得$L=18$
因为$F$随$L$增大而减小，所以$L\geq18$
又木杆长70cm，右侧最大距离为35cm，故$L\leq35$
所以$L$的取值范围是$18\leq L\leq35$

答案：
(1)3
(2)解：由杠杆平衡条件得$F× L=9×20$，即$F=\frac{180}{L}$
(3)解：当$F=10$时，$10=\frac{180}{L}$，解得$L=18$
因为$F$随$L$增大而减小，所以$L\geq18$
又木杆长70cm，右侧最大距离为35cm，故$L\leq35$
所以$L$的取值范围是$18\leq L\leq35$