《2025年本土假期作业巩固训练八年级数学》

例 5 如图,在四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 O,已知 OA= OC,OB= OD,过点 O 作 EF⊥BD,分别交 AB,DC 于点 E,F,连结 DE,BF,AF.
(1)求证:四边形 DEBF 是菱形;
(2)设 AD//EF,AD + AB= 12,BD= 4√3,求△ABD 的面积.

答案： 【解析】：
(1) 本题考查平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定。
首先根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，得到四边形$ABCD$是平行四边形，然后利用平行四边形的性质，得到$\angle OBE = \angle ODF$，再通过$ASA$全等条件，证明$\triangle BOE \cong \triangle DOF$，从而得到$DF = BE$，进而得到四边形$DEBF$是平行四边形，最后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可得证。
(2) 本题考查勾股定理，直角三角形的面积公式。
首先根据菱形的性质，得到$BD \perp EF$，然后利用平行线的性质，得到$AD \perp BD$，从而得到$\triangle ADB$为直角三角形，再利用勾股定理和已知条件$AD + AB = 12$，求出$AD$的长，最后利用直角三角形的面积公式，求出$\triangle ABD$的面积即可。
【答案】：
(1)证明：
∵$OA = OC$，$OB = OD$，
∴四边形$ABCD$为平行四边形，
∴$AB // CD$，
∴$\angle OBE = \angle ODF$，
在$\triangle BOE$和$\triangle DOF$中，
$\left\{ \begin{matrix} \angle OBE = \angle ODF, \\ OB = OD, \\ \angle BOE = \angle DOF, \end{matrix} \right.$
∴$\triangle BOE \cong \triangle DOF(ASA)$，
∴$BE = DF$，
又
∵$DF // BE$，
∴四边形$DEBF$是平行四边形，
∵$EF \perp BD$，
∴四边形$DEBF$是菱形。
(2)解：
∵四边形$DEBF$是菱形，
∴$BD \perp EF$，
∵$AD // EF$，
∴$AD \perp BD$，
∴$\triangle ADB$为直角三角形，
∵$AB^2 - AD^2 = BD^2 = 48$，$AD + AB = 12$，①
又
∵$(AB + AD)(AB - AD) = 48$，
∴$AB - AD = 4$，②
由①②，得$AB = 8$，$AD = 4$，
∴$S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2}AD \cdot BD = \frac{1}{2} × 4 × 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$。

1. 要检验一张四边形的纸片是否为菱形,下列方案中可行的是 (D)
A.度量四个内角是否相等
B.测量两条对角线是否相等
C.测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D.将这纸片分别沿两条对角线对折,看对角线两侧的部分是否每次都完全重合

答案： 解：选项A：四个内角相等的四边形是矩形，不一定是菱形，故A不可行；
选项B：两条对角线相等的四边形不一定是菱形，如矩形对角线相等但不是菱形，故B不可行；
选项C：两条对角线交点到四个顶点距离相等的四边形是矩形，故C不可行；
选项D：沿两条对角线对折，对角线两侧部分每次都完全重合，说明对角线所在直线是对称轴，即对角线垂直且平分，由菱形判定定理，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故D可行。
答案：D

2. 如图,□ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,添加下列条件不能证明□ABCD 是菱形的是 (D)

A.∠ABD= ∠ADB
B.AC⊥BD
C.AB= BC
D.AC= BD

答案： 【解析】：
本题主要考察菱形，矩形，正方形的判定方法。
菱形的判定方法：
一组邻边相等的平行四边形是菱形；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
四条边都相等的四边形是菱形。
选项A：若$\angle ABD = \angle ADB$，则根据等腰三角形的性质，我们可以得到$AB = AD$，即一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以该选项不符合题意。
选项B：若$AC \perp BD$，则根据菱形的性质（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），我们可以确定平行四边形$ABCD$是菱形，所以该选项不符合题意。
选项C：若$AB = BC$，则根据菱形的定义（一组邻边相等的平行四边形是菱形），我们可以确定平行四边形$ABCD$是菱形，所以该选项不符合题意。
选项D：若$AC = BD$，这只能说明平行四边形$ABCD$的对角线相等，根据矩形的判定（对角线相等的平行四边形是矩形），我们可以确定平行四边形$ABCD$是矩形，但并不能确定它是菱形，所以该选项符合题意。
综上所述，本题答案是：D。
【答案】：D。

3. 如图所示,矩形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,CE//BD,DE//AC.若 BD= 6,则四边形 CODE 的周长是 (B)

A.10
B.12
C.18
D.24

答案： 【解析】：
本题主要考查了矩形的性质以及平行四边形的判定和性质。
首先，由于四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，我们知道矩形的对角线相等且互相平分。
所以，$BD = AC = 6$，且$BO = OD = \frac{BD}{2} = 3$，$AO = OC = \frac{AC}{2} = 3$。
接着，由于$CE// BD$且$DE// AC$，
根据平行四边形的判定，如果一个四边形的两组对边分别平行，则这个四边形是平行四边形。
所以，四边形CODE是平行四边形。
然后，由于矩形的对角线相等，即$BD = AC$，且$BO = OD$，$AO = OC$，
所以$OC = OD$。
根据平行四边形的性质，如果一个平行四边形的对角线相等，则这个平行四边形是矩形，但在此题中，我们只需要知道它是一个平行四边形，并且有一组邻边相等（即$OC = OD$），就可以判定它是一个菱形。
最后，由于四边形CODE是菱形，所以它的四条边都相等，即$OC = OD = DE = CE = 3$。
因此，四边形CODE的周长为$3 + 3 + 3 + 3 = 12$。
【答案】：B. $12$。

4. 已知:如图,在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC 平分∠BCD. 求证:四边形 ABCD 是菱形.
证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AD//BC,∴∠DAC= ∠BCA,
∵对角线 AC 平分∠BCD,
∴∠BCA= ∠DCA,∴∠DAC= ∠DCA,
∴四边形 ABCD 是菱形.
为了推理更加严谨,在“∴∠DAC= ∠DCA”和“∴四边形 ABCD 是菱形”之间的补充,下列说法正确的是 (C)

A.已经严谨,不用补充
B.应补充“∴AC 平分∠BAD”
C.应补充“∴DA= DC”
D.应补充“∴DA= AB”

答案： 【解析】：
首先，我们分析题目给出的条件：
第一步，由题目信息，可知四边形ABCD是平行四边形，所以有$AD// BC$，从而得出$\angle DAC = \angle BCA$。
第二步，根据题目信息，对角线AC平分$\angle BCD$，所以有$\angle BCA = \angle DCA$。
第三步，结合第一步和第二步的结论，我们可以得到$\angle DAC = \angle DCA$。
第四步，根据等腰三角形的性质，在三角形中，如果两个角相等，则它们所对的两边也相等。所以，由$\angle DAC = \angle DCA$，我们可以得出$DA = DC$。
第五步，根据菱形的性质，一个平行四边形中如果有一组邻边相等，则这个平行四边形是菱形。由第四步我们知道$DA = DC$，且ABCD是平行四边形，所以ABCD是菱形。
对比选项，我们发现为了推理更加严谨，在“$\angle DAC = \angle DCA$”和“四边形ABCD是菱形”之间的补充应该是“$DA = DC$”。
【答案】：
C