《2025年本土假期作业巩固训练八年级数学》

1. 如图,已知四边形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,则下列能判断它是正方形的条件是 (B)
A.AB= BC= CD= DA
B.AO= BO= CO= DO,AC⊥BD
C.AO= CO,BO= DO,AC⊥BD
D.AB= BC,CD⊥DA

答案： 【解析】：
本题考查正方形判定条件。
A选项：$AB=BC=CD=DA$，只能判定四边形是菱形，不能判定是正方形，因为正方形除了四边相等，还需要四个角都是直角，故A选项错误。
B选项：$AO=BO=CO=DO$，说明四边形的对角线相等且互相平分，根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形；又因为$AC\perp BD$，即对角线互相垂直，而有一个角是直角的矩形是正方形，所以该四边形是正方形，故B选项正确。
C选项：$AO=CO$，$BO=DO$，只能判定四边形是平行四边形，$AC\perp BD$只能进一步判定该平行四边形是菱形，不能判定是正方形，故C选项错误。
D选项：$AB=BC$，$CD\perp DA$，只能说明有一组邻边相等且有一个角是直角，不能判定四边形是正方形，故D选项错误。
【答案】：B

2. 如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,添加下列条件,能使菱形 ABCD 成为正方形的是 (A)
A.AC= BD
B.AC⊥BD
C.AD= AB
D.AC 平分∠DAB

答案： 解：菱形的性质：四条边相等，对角线互相垂直平分。
正方形是特殊的菱形，除具有菱形的性质外，还具有对角线相等的性质。
选项A：AC=BD，即对角线相等的菱形是正方形，符合题意。
选项B：菱形的对角线本身就互相垂直，AC⊥BD不能使菱形成为正方形。
选项C：菱形的四条边都相等，AD=AB是菱形本身具有的性质。
选项D：菱形的对角线平分一组对角，AC平分∠DAB是菱形本身具有的性质。
结论：能使菱形ABCD成为正方形的条件是A。
答案：A

3. 如图,在矩形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,添加下列条件不能判定矩形 ABCD 是正方形的是 (B)

A.AB= BC
B.AC= BD
C.AC⊥BD
D.∠1= ∠2

答案： 【解析】：
本题考查正方形的判定定理，需要对每个选项进行逐一的分析和判断。
A项：根据“有一组邻边相等的矩形是正方形”这一判定定理，当$AB=BC$时，矩形$ABCD$是正方形，故A项不符合题意。
B项：矩形的对角线本身就是相等的，即使$AC=BD$，也不能说明矩形$ABCD$是正方形，故B项符合题意。
C项：根据“对角线互相垂直的矩形是正方形”这一判定定理，当$AC\perp BD$时，矩形$ABCD$是正方形，故C项不符合题意。
D项：当$\angle 1=\angle 2$时，可以得出$AD// BC$，$AB=AD$。
根据“有一组邻边相等的矩形是正方形”这一判定定理，矩形$ABCD$是正方形，故D项不符合题意。
综上所述，答案为：B。
【答案】：B

4. 如图,E,F,M,N 分别是正方形 ABCD 四条边上的点,AE= BF= CM= DN,则四边形 EFMN 的形状是 (D)
A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.正方形

答案： 证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°。
∵AE=BF=CM=DN，设其长度为k，正方形边长为a，
则BE=CF=DM=AN=a-k。
在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中：
∵AE=BF=CM=DN，∠A=∠B=∠C=∠D，AN=BE=CF=DM，
∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM（SAS）。
∴EN=FE=MF=NM，
∴四边形EFMN是菱形。
∵△AEN≌△BFE，
∴∠ANE=∠BEF。
∵∠A=90°，
∴∠ANE+∠AEN=90°，
∴∠BEF+∠AEN=90°，
∴∠NEF=180°-90°=90°。
∵四边形EFMN是菱形且有一个角为90°，
∴四边形EFMN是正方形。
答案：D

5. 现有一张边长等于 a(a＞16)的正方形纸片,从距离正方形的四个顶点 8 cm 处,沿 45°角画线,将正方形纸片分成 5 部分,则阴影部分是正方形(填写图形的形状)(如图),它的一边长是8√2 cm.

答案： 解：正方形；$8\sqrt{2}$cm

6. 如图,在四边形 ABCD 中,∠A= ∠B= 90°,AB= BC= 4,AD= 3,E 是边 AB 上一点,且∠DCE= 45°,则 DE 的长度是____29/7.

答案： 29/7

7. 如图,已知四边形 ABCD 为正方形,AB= √2,点 E 为对角线 AC 上一动点,连结 DE,过点 E 作 EF⊥DE,与 BC 相交于点 F,以 DE,EF 为邻边作矩形 DEFG,连结 CG.
(1)求证:矩形 DEFG 是正方形;
(2)探究:四边形 CEDG 的面积是否为定值? 若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由.

答案：
(1)证明：过点E作EM⊥AD于M，EN⊥BC于N，EP⊥CD于P。
∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴EM=EP，∠DME=∠EPF=90°，∠ACD=45°，
∴EP=PC，同理EM=MD。
∵EF⊥DE，
∴∠DEM+∠MEF=∠FEP+∠MEF=90°，
∴∠DEM=∠FEP。
在△DME和△EPF中，
∠DME=∠EPF，EM=EP，∠DEM=∠FEP，
∴△DME≌△EPF(ASA)，
∴DE=EF。
∵四边形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形。
(2)解：四边形CEDG的面积是定值，定值为1。
∵四边形DEFG是正方形，
∴DE=DG，∠EDG=90°。
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∴∠ADE+∠EDC=∠CDG+∠EDC=90°，
∴∠ADE=∠CDG。
在△ADE和△CDG中，
AD=CD，∠ADE=∠CDG，DE=DG，
∴△ADE≌△CDG(SAS)，
∴S△ADE=S△CDG。
∵S四边形CEDG=S△CDE+S△CDG=S△CDE+S△ADE=S△ADC，
∵AB=√2，正方形ABCD中，AC=√2AB=2，AD=CD=√2，
S△ADC=1/2×AD×CD=1/2×√2×√2=1，
∴四边形CEDG的面积为1。