《2025年本土假期作业巩固训练八年级数学》

专题 1 平均数
知识清单
1. 平均数：n 个数 $ x_1,x_2,x_3,x_4\cdots x_n $ 的平均数 $ \overline{x} = $ $\frac{x_1 + x_2 + x_3 + \cdots + x_n}{n}$。
2. 加权平均数：如果一组数据 $ x_1,x_2,x_3,x_4\cdots x_n $ 的权分别为 $ f_1,f_2,f_3,f_4\cdots f_n $，那么这组数据的加权平均数 $ \overline{x} = $ $\frac{x_1f_1 + x_2f_2 + x_3f_3 + \cdots + x_nf_n}{f_1 + f_2 + f_3 + \cdots + f_n}$。

答案： 1. $\frac{x_1 + x_2 + x_3 + \cdots + x_n}{n}$
2. $\frac{x_1f_1 + x_2f_2 + x_3f_3 + \cdots + x_nf_n}{f_1 + f_2 + f_3 + \cdots + f_n}$

例 1 小李大学毕业到一家公司应聘英文翻译，该公司对他进行了听、说、读、写的英语水平测试，他的各项成绩（百分制）分别为 70，80，90，100。他这四项测试的平均成绩是（）

A.80
B.85
C.90
D.95

答案： 【解析】：
本题考查的是算术平均数的计算。算术平均数是所有数值的和除以数值的个数。在这个问题中，需要将小李在听、说、读、写四项测试中的成绩相加，然后除以4（测试的总数）。
具体计算步骤如下：
首先，将四项成绩相加：
$70 + 80 + 90 + 100 = 340$。
然后，将总成绩除以测试的总数（4项）：
$\frac{340}{4} = 85$。
因此，小李这四项测试的平均成绩是85分。
【答案】：B.85。

例 2 为了了解居民的环保意识，社区工作人员在光明小区随机抽取了若干名居民开展主题为“打赢蓝天保卫战”的环保知识有奖问答活动，得分情况如下表所示：
|得分|6|7|8|9|10|
|----|----|----|----|----|----|
|人数|4|10|15|11|10|
则抽取的居民得分的平均数为（）

A.8
B.8.26
C.9.2
D.10

答案： 【解析】：
本题主要考察加权平均数的计算。
加权平均数的计算公式为：所有数据的加权和除以数据的总个数。
在这个问题中，需要计算的是居民的得分平均数。
根据表格，得分和对应的人数分别为：6分（4人），7分（10人），8分（15人），9分（11人），10分（10人）。
根据加权平均数的定义，可以列出以下算式：
平均数 $= \frac{(6 × 4 + 7 × 10 + 8 × 15 + 9 × 11 + 10 × 10)}{(4 + 10 + 15 + 11 + 10)}$。
进行计算，可得：
平均数 $= \frac{(24 + 70 + 120 + 99 + 100)}{50} = \frac{413}{50} = 8.26$。
【答案】：B. $8.26$。

例 3 某快递员十二月份送餐统计数据如下表：
|送餐距离|小于等于 3 公里|大于 3 公里|
|----|----|----|
|占比|70%|30%|
|送餐费|4 元/单|6 元/单|
则该快递员十二月份平均每单送餐费是（）

A.4.4 元
B.4.6 元
C.4.8 元
D.5 元

答案： 【解析】：
本题考查的是加权平均数的计算。
加权平均数公式为：$\text{加权平均数} = \frac{\sum (\text{每项数值} × \text{对应权重})}{\sum \text{权重}}$，
在这个问题中，有两类送餐距离，每类送餐距离有不同的送餐费和占比（即权重）。
小于等于$3$公里的送餐费是$4$元/单，占比是$70\%$；
大于$3$公里的送餐费是$6$元/单，占比是$30\%$。
将这些数值代入加权平均数公式，得到：
$\text{平均每单送餐费} = 4 × 70\% + 6 × 30\% = 4 × 0.7 + 6 × 0.3 = 2.8 + 1.8 = 4.6 \text{(元]}$。
【答案】：B. $4.6$ 元。

例 4 已知一组数据 $ x_1,x_2,x_3,\cdots,x_{20} $ 的平均数为 7，则 $ 3x_1 + 2,3x_2 + 2,3x_3 + 2,\cdots,3x_{20} + 2 $ 的平均数为 23。

答案： 【解析】：
本题主要考查平均数的计算与数据的线性变换对平均数的影响。
首先，根据平均数的定义，有：
$\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_{20}}{20} = 7$，
从上式可以解出$x_1 + x_2 + \cdots + x_{20} = 7 × 20 = 140$，
接下来，考虑新数据$3x_1 + 2, 3x_2 + 2, \cdots, 3x_{20} + 2$的平均数。
根据平均数的定义，新数据的平均数为：
$\frac{(3x_1 + 2) + (3x_2 + 2) + \cdots + (3x_{20} + 2)}{20}$，
这可以化简为：
$\frac{3(x_1 + x_2 + \cdots + x_{20}) + 2 × 20}{20}$，
将$x_1 + x_2 + \cdots + x_{20} = 140$代入上式，得到：
$\frac{3 × 140 + 40}{20} = \frac{420 + 40}{20} = \frac{460}{20} = 23$。
【答案】：
23。

例 5 甲、乙两位同学参加数学综合素质测试，各项成绩如下（单位：分）：
| |数与代数|空间与图形|统计与概率|综合与实践|
|----|----|----|----|----|
|学生甲|90|93|89|90|
|学生乙|94|92|94|86|
如果数与代数、空间与图形、统计与概率、综合与实践的成绩按 $ 3:3:2:2 $ 计算，那么甲、乙的数学综合素质成绩分别为多少分？

答案： 【解析】：
本题主要考查了加权平均数的计算。在给定各项成绩和对应的权重后，我们需要利用加权平均数的公式来计算甲，乙两位同学的数学综合素质成绩。加权平均数的公式为：$加权平均数 = \frac{各项成绩 × 对应权重之和}{权重之和}$。在本题中，权重之和为$3+3+2+2=10$，因此我们可以直接将各项成绩乘以其对应的权重（即比例），然后求和，得到甲，乙的数学综合素质成绩。
【答案】：
甲的数学综合素质成绩计算如下：
$90 × \frac{3}{10} + 93 × \frac{3}{10} + 89 × \frac{2}{10} + 90 × \frac{2}{10}$
$= 27 + 27.9 + 17.8 + 18$
$= 90.7$（分）
乙的数学综合素质成绩计算如下：
$94 × \frac{3}{10} + 92 × \frac{3}{10} + 94 × \frac{2}{10} + 86 × \frac{2}{10}$
$= 28.2 + 27.6 + 18.8 + 17.2$
$= 91.8$（分）
答：甲的数学综合素质成绩为$90.7$分，乙的数学综合素质成绩为$91.8$分。