《2025年本土假期作业巩固训练八年级数学》

专题 1 平行四边形的定义与性质
知识清单
1. 定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
2. 性质:(1)平行四边形的对边相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分.
(2)平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点.经过平行四边形对称中心的任何一条直线都可以将它分成两个全等的图形.

答案： 2.
(1)相等；相等；互补；互相平分
(2)中心；两条对角线的交点

例 1 如图,$□ ABCD$的周长为 30,$AD:AB= 3:2$,那么$BC$的长度是 ()

A.9
B.12
C.15
D.18

答案： 【解析】：本题考查平行四边形的性质。
设$AD$的长为$3x$，$AB$的长为$2x$。
因为平行四边形的对边相等，所以$AD = BC = 3x$，$AB = CD = 2x$。
平行四边形$ABCD$的周长为$30$，根据周长的定义，有$2(AB + AD) = 30$，即$2(2x + 3x) = 30$。
解这个方程，得到：
$2(2x + 3x) = 30$
$2 × 5x = 30$
$10x = 30$
$x = 3$
将$x = 3$代入$BC = 3x$，得到$BC = 3 × 3 = 9$。
【答案】：A

例 2 在平行四边形$ABCD$中,若$∠A+∠C= 80^{\circ}$,则$∠B$的度数是 ()

A.$140^{\circ}$
B.$120^{\circ}$
C.$100^{\circ}$
D.$40^{\circ}$

答案： 【解析】：
本题考查了平行四边形的性质。
在平行四边形$ABCD$中，由平行四边形的性质知，对角相等，即$\angle A = \angle C$。
又因为$\angle A + \angle C = 80^{\circ}$，
可以得出：
$2\angle A = 80^{\circ}$
$\angle A = 40^{\circ}$
再由平行四边形的性质，邻角互补，即：
$\angle A + \angle B = 180^{\circ}$
代入已知的$\angle A = 40^{\circ}$，可以求出：
$\angle B = 180^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ}$
【答案】：
A.$140^{\circ}$。

例 3 如图,平行四边形$ABCD的对角线AC$,$BD交于点O$,$BC= 5cm$,$AC= 8cm$,$BD= 4cm$,则$\triangle AOD$的周长是 ()


A.$9cm$
B.$11cm$
C.$13cm$
D.$17cm$

答案： 【解析】：
本题主要考查了平行四边形的性质以及三角形的周长计算。
首先，根据平行四边形的性质，对边相等，所以 $AD = BC = 5cm$。
其次，平行四边形的对角线互相平分，所以 $OA = \frac{1}{2}AC = 4cm$，$OD = \frac{1}{2}BD = 2cm$。
最后，利用三角形的周长公式，$\triangle AOD$ 的周长为 $AD + OA + OD = 5cm + 4cm + 2cm = 11cm$。
【答案】：
B. $11cm$。

例 4 如图,直线$EF经过平行四边形ABCD$对角线的交点,若四边形$ABCD的面积为30cm^{2}$,则四边形$EDCF$的面积为____$cm^{2}$.

答案： 解：连接AC、BD交于点O。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，AD//BC，AB//CD。
在△AOE和△COF中，
∠EAO=∠FCO（AD//BC，内错角相等），
OA=OC，
∠AOE=∠COF（对顶角相等），
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴S_△AOE=S_△COF。
同理，△DOE≌△BOF（ASA），
∴S_△DOE=S_△BOF。
∵平行四边形ABCD的面积为30cm²，
∴S_△AOD+S_△COD+S_△BOC+S_△AOB=30cm²，
又
∵S_△AOD=S_△BOC，S_△AOB=S_△COD，
∴S_△COD+S_△AOD=15cm²。
∵S_{四边形EDCF}=S_△DOE+S_△COD+S_△COF，
且S_△DOE+S_△COF=S_△BOF+S_△AOE，
而S_△AOD=S_△AOE+S_△DOE，
∴S_{四边形EDCF}=S_△COD+S_△AOD=15cm²。
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例 5 如图,在$□ ABCD$中,$AB= 2$,$∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点E$,若点$E恰好在边AD$上,则$BE^{2}+CE^{2}$的值为____.

答案： 【解析】：本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和勾股定理。
∵四边形$ABCD$为平行四边形，
∴$AD// BC$，$AB=CD=2$，$AD=BC$，
∴$\angle AEB=\angle EBC$，
∵$BE$平分$\angle ABC$，
∴$\angle ABE=\angle EBC$，
∴$\angle ABE=\angle AEB$，
∴$AB=AE=2$，
同理可得，$DE=DC=2$，
∴$AD=AE+DE=2+2=4$，
∴$BC=4$，
∵$AB// CD$，
∴$\angle ABC+\angle BCD=180^{\circ}$，
∵$\angle EBC=\frac{1}{2}\angle ABC$，$\angle ECB=\frac{1}{2}\angle BCD$，
∴$\angle EBC+\angle ECB=90^{\circ}$，
∴$\angle BEC=90^{\circ}$，
在$Rt\bigtriangleup BEC$中，
$BE^{2}+CE^{2}=BC^{2}$，
$BE^{2}+CE^{2}=16$，
故答案为：16。
【答案】：16。

例 6 如图,点$E$,$F是平行四边形ABCD对角线BD$上的点,$BF= DE$. 求证：$AE= CF$.

答案： 【解析】：本题考查平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质。首先根据平行四边形的性质得到$AD// BC$，$AD = BC$，进而推出$\angle EDA=\angle FBC$，再结合已知条件$BF = DE$，利用全等三角形的判定定理（$SAS$）证明$\triangle AED\cong\triangle CFB$，最后根据全等三角形的性质得出$AE = CF$。
【答案】：
证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD// BC$，$AD = BC$，
∴$\angle EDA=\angle FBC$。
在$\triangle AED$和$\triangle CFB$中，
$\begin{cases}AD = BC\\\angle ADE=\angle CBF\\DE = BF\end{cases}$
∴$\triangle AED\cong\triangle CFB(SAS)$，
∴$AE = CF$。