《2025年本土假期作业巩固训练八年级数学》

1. 在下列条件中,能够判定一个四边形是平行四边形的有 (B)
①一组对边平行,另一组对边相等；
②一组对边平行,一条对角线平分另一条对角线；
③一组对边平行,一组对角相等；
④一组对角相等,一条对角线平分另一条对角线.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： 【解析】：
本题主要考查平行四边形的判定条件。
对于选项①，一组对边平行，另一组对边相等，这并不能直接判定为平行四边形，因为这样的条件也可能满足等腰梯形。
对于选项②，一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线，这是平行四边形的一个判定条件。可以通过证明两个三角形全等，进而证明另一组对边也平行，从而得出这是平行四边形。
对于选项③，一组对边平行，一组对角相等，这也是平行四边形的一个判定条件。可以通过平行线的性质和角的相等关系，证明另一组对边也平行，从而得出这是平行四边形。
对于选项④，一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线，这不能直接判定为平行四边形。因为这样的条件并不能保证另一组对边平行。
综上所述，能够判定为平行四边形的条件有②和③两个。
【答案】：
B. 2个。

2. 如图,在四边形$ABCD$中,$AB// CD$,添加下列一个条件后,一定能判定四边形$ABCD$是平行四边形的是 (C)

A.$AB= AD$
B.$AD= BC$
C.$∠B= ∠D$
D.$∠A+∠D= 180^{\circ}$

答案： 解：
∵AB//CD，
∴∠A+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补），∠B+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
选项A：AB=AD，无法判定AD//BC或AB=CD，不符合。
选项B：AD=BC，一组对边平行，另一组对边相等，可能为等腰梯形，不符合。
选项C：∠B=∠D，
∵∠B+∠C=180°，∠A+∠D=180°，
∴∠A=∠C，两组对角分别相等，四边形ABCD是平行四边形，符合。
选项D：∠A+∠D=180°，由AB//CD已得，无法新增条件，不符合。
答案：C

3. 如图,$□ ABCD$中,$E$,$F是对角线BD$上不同的两点,下列条件中,不能得出四边形$AECF$一定为平行四边形的是 (C)
A.$BE= DF$
B.$AF// CE$
C.$CE= AF$
D.$∠DAF= ∠BCE$

答案： 解：连接AC交BD于点O。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD。
选项A：若BE=DF，则OB-BE=OD-DF，即OE=OF。
∵OA=OC，OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形。
选项B：若AF//CE，则∠OAF=∠OCE，∠OFA=∠OEC。
在△AOF和△COE中，
∠OAF=∠OCE，∠OFA=∠OEC，OA=OC，
∴△AOF≌△COE（AAS），
∴OF=OE。
∵OA=OC，OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形。
选项C：CE=AF，仅一组对边相等，不能判定四边形AECF是平行四边形。
选项D：若∠DAF=∠BCE，
∵AD//BC，
∴∠ADB=∠CBD。
在△ADF和△CBE中，
∠DAF=∠BCE，AD=BC，∠ADF=∠CBE，
∴△ADF≌△CBE（ASA），
∴AF=CE，∠AFD=∠CEB。
∴∠AFO=∠CEO，
∴AF//CE。
∵AF=CE且AF//CE，
∴四边形AECF是平行四边形。
综上，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是C。
答案：C

4. 如图,在$\triangle ABC$中,点$D$,$E$,$F分别为边BC$,$AB$,$AC$上的点,连结$FD并延长到点G$,已知$FG// AB$,则添加下列条件,可以使线段$AG$,$DE$互相平分的是 (D)
A.$AD= EG$
B.$DF= DG$
C.$DE// AC$
D.$DG= AE$

答案： 证明：若要使线段$AG$，$DE$互相平分，则四边形$AEGD$需为平行四边形。
已知$FG// AB$，即$DG// AE$。
当添加条件$DF=DG$时：
因为$FG// AB$，所以$\angle GDA=\angle DAE$，$\angle AGD=\angle GEA$。
又$DF=DG$，但仅由此不能直接证得四边形$AEGD$为平行四边形。
当添加条件$DE// AC$时：
因为$DE// AC$，所以$\angle ADE=\angle DAF$。
又$FG// AB$，所以$\angle DAG=\angle AGD$，无法直接得出四边形$AEGD$为平行四边形。
当添加条件$DG=AE$时：
因为$DG// AE$且$DG=AE$，所以四边形$AEGD$为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），则$AG$，$DE$互相平分。
当添加条件$AD=EG$时，无法直接判定四边形$AEGD$为平行四边形。
综上，答案选D。

5. 若$O是四边形ABCD的对角线AC和BD$的交点,且$OB= OD$,$AC= 24cm$,则当$OA= $12$cm$时,四边形$ABCD$是平行四边形.

答案： 【解析】：
本题考查了平行四边形的判定定理中的“对角线互相平分的四边形是平行四边形”。
由题意知，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且给出$OB = OD$，同时给出$AC = 24cm$。
根据平行四边形的性质，如果四边形ABCD是平行四边形，那么其对角线AC和BD必须互相平分。
即，如果ABCD是平行四边形，那么$OA = OC$ 且 $OB = OD$。
题目已经给出$OB = OD$和$AC = 24cm$，因此只需要找到满足$OA = OC$的$OA$的长度。
由于$AC = 24cm$，且$OA = OC$，所以：
$OA = \frac{1}{2} × AC = \frac{1}{2} × 24cm = 12cm$
【答案】：
$12$

6. 如图,点$A是直线l$外一点,在$l上取两点B$,$C$,分别以$A$,$C$为圆心,$BC$,$AB$的长为半径画弧,两弧交于点$D$,分别连结$AB$,$AD$,$CD$,则四边形$ABCD$是平行四边形,理由是____两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

答案： 【解析】：本题可根据平行四边形的判定定理，结合已知条件来判断四边形$ABCD$是平行四边形的理由。
平行四边形的判定定理之一为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
已知分别以$A$，$C$为圆心，$BC$，$AB$的长为半径画弧，两弧交于点$D$，根据圆的性质，在以$A$为圆心，$BC$长为半径画弧时，$AD = BC$；在以$C$为圆心，$AB$长为半径画弧时，$CD = AB$。
所以在四边形$ABCD$中，$AB = CD$，$AD = BC$，即四边形$ABCD$的两组对边分别相等，根据上述判定定理可知四边形$ABCD$是平行四边形。
【答案】：两组对边分别相等的四边形是平行四边形

7. 如图,在等边三角形$ABC$中,$BC= 6cm$,射线$AG// BC$,点$E从点A$出发,沿射线$AG以1cm/s$的速度运动,同时点$F从点B$出发,沿射线$BC以2cm/s$的速度运动,运动时间为2或6秒时,以$A$,$F$,$C$,$E$为顶点的四边形是平行四边形.

答案： 解：设运动时间为$t$秒。
因为$AG// BC$，要使以$A$，$F$，$C$，$E$为顶点的四边形是平行四边形，则需$AE=FC$。
点$E$的运动路程为$AE = 1× t = t$（$cm$）。
点$F$从点$B$出发，沿射线$BC$运动，$BC = 6cm$，则：
情况一：点$F$在$BC$上时，$FC = BC - BF = 6 - 2t$。
由$AE = FC$，得$t = 6 - 2t$，解得$t = 2$。
情况二：点$F$在$BC$的延长线上时，$FC = BF - BC = 2t - 6$。
由$AE = FC$，得$t = 2t - 6$，解得$t = 6$。
综上，运动时间为$2$或$6$秒。
答案：$2$或$6$

8. 如图,以$\triangle ABC的三边分别作等边\triangle DAC$,$\triangle ABE$,$\triangle BCF$. 求证：四边形$ADFE$是平行四边形.

答案： 证明：
∵△ABE、△BCF为等边三角形，
∴BE=BA，BF=BC，∠EBA=∠FBC=60°．
∴∠EBA-∠FBA=∠FBC-∠FBA，即∠EBF=∠ABC．
在△EBF和△ABC中，
$\left\{\begin{array}{l} BE=BA\\ ∠EBF=∠ABC\\ BF=BC\end{array}\right.$
∴△EBF≌△ABC（SAS）．
∴EF=AC．
∵△DAC为等边三角形，
∴AD=AC．
∴EF=AD．
同理，△FDC≌△ABC（SAS），得DF=AB．
∵△ABE为等边三角形，
∴AE=AB．
∴DF=AE．
∵EF=AD且DF=AE，
∴四边形ADFE是平行四边形．

9. 如图,$□ ABCD的对角线AC与BD相交于点O$,点$E$,$F分别在OB和OD$上,且$∠AEB= ∠CFD$.
(1) 求证：四边形$AECF$是平行四边形；
(2) 若$∠AEB= 90^{\circ}$,$AE= EF= 2$,求线段$AC$的长.

答案：
(1)证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，AB=CD，AB//CD，
∴∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠AEB=∠CFD\\ ∠ABE=∠CDF\\ AB=CD\end{array}\right. $，
∴△ABE≌△CDF(AAS)，
∴BE=DF，
∵OB=OD，
∴OB-BE=OD-DF，即OE=OF，
∵OA=OC，
∴四边形AECF是平行四边形；
(2)解：由
(1)得：OE=OF，
∵AE=EF=2，
∴OE=OF=1，
∵∠AEB=90°，
∴∠AEO=180°-∠AEB=90°，
在Rt△AEO中，由勾股定理得：OA=$\sqrt {AE^{2}+OE^{2}}=\sqrt {2^{2}+1^{2}}=\sqrt {5}$，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=2OA=2$\sqrt {5}$．