《2025年本土假期作业巩固训练八年级数学》

10. 甲、乙两个草莓采摘园为吸引顾客,在草莓销售价格相同的基础上分别推出优惠方案,甲园：顾客进园需购买门票,采摘的草莓按六折优惠。乙园：顾客进园免门票,采摘草莓超过一定数量后,超过的部分打折销售。活动期间,某顾客的草莓采摘量为$x$千克,若在甲园采摘需总费用$y_{1}$元,若在乙园采摘需总费用$y_{2}$元。$y_{1}$,$y_{2}与x$之间的函数图象如图所示,则下列说法中错误的是( )C

A.甲园的门票费用是 60 元
B.草莓优惠前的销售价格是 40 元/千克
C.乙园超过 5 千克后,超过的部分价格优惠是打五折
D.若顾客采摘 15 千克草莓,那么到甲园比到乙园采摘更实惠

答案： 解：A. 当x=0时，y₁=60，故甲园门票60元，A正确。
B. 设草莓原价为m元/千克，甲园y₁=0.6mx+60。由图知x=5时，y₁=180，代入得180=0.6m×5+60，解得m=40，B正确。
C. 乙园：0≤x≤5时，y₂=40x；x=5时，y₂=200。设超过5千克后，y₂=kx+b，由图知x=10时，y₂=380，代入得{200=5k+b，380=10k+b}，解得k=36，b=20。超过部分单价36元，36÷40=0.9，即九折，C错误。
D. 甲园：y₁=0.6×40×15+60=420元。乙园：y₂=36×15+20=560元。420＜560，D正确。
答案：C

11. 在函数$y = \frac{\sqrt{1 - x}}{x + 2}$中,自变量$x$的取值范围是$x \leq 1$ 且 $x \neq -2$。

答案： 【解析】：
本题主要考查了函数自变量的取值范围问题。
对于二次根式，被开方数必须大于等于0；
对于分式，分母不能为0。
因此，我们需要满足以下两个条件：
$1 - x \geq 0$ ，以确保二次根式内的表达式非负。
$x + 2 \neq 0$，以确保分母不为0。
解第一个不等式 $1 - x \geq 0$，得到 $x \leq 1$。
解第二个不等式 $x + 2 \neq 0$，得到 $x \neq -2$。
综合以上两个条件，我们得到自变量 $x$ 的取值范围是 $x \leq 1$ 且 $x \neq -2$。
【答案】：
$x \leq 1$ 且 $x \neq -2$。

12. 已知$M(x_{1},y_{1})$,$N(x_{2},y_{2})$两点都在反比例函数$y = \frac{-5}{x}$的图象上,且$x_{1} ＞ 0 ＞ x_{2}$,则$y_{1}$＜$y_{2}$。(选填“＞”“＜”或“=”)

答案： 【解析】：
本题主要考察反比例函数$y = \frac{-5}{x}$的性质。
反比例函数$y = \frac{-5}{x}$中，因为系数$k = -5 ＜ 0$，所以该函数的图像位于第二，四象限。
根据题目条件，$x_1 ＞ 0$，所以点$M(x_1, y_1)$位于第四象限，因此$y_1 ＜ 0$；
同样，$x_2 ＜ 0$，所以点$N(x_2, y_2)$位于第二象限，因此$y_2 ＞ 0$。
由于$y_1 ＜ 0$且$y_2 ＞ 0$，可以得出$y_1 ＜ y_2$。
【答案】：
$＜$

13. 已知正比例函数$y = ax与反比例函数y = \frac{b}{x}的图象交于点A(m,n)$,则这两个函数图象的另一个交点为$(-m,-n)$。

答案： 【解析】：
本题主要考查正比例函数和反比例函数交点的性质，即它们的交点关于原点对称。
由于正比例函数$y=ax$和反比例函数$y=\frac{b}{x}$的图像都关于原点对称，
因此，如果$(m,n)$是它们的一个交点，
那么关于原点对称的点$(-m,-n)$也必然是它们的一个交点。
我们可以根据两个函数在点A处的函数值相等来验证这一点。
对于正比例函数，有$n=am$，
对于反比例函数，有$n=\frac{b}{m}$，
由于两个函数在点A处的函数值相等，我们可以得到：
$am=\frac{b}{m}$
即$b=am^2$
这是两个函数在点A处相交的条件。
现在，我们考虑另一个交点$(-m,-n)$，
对于正比例函数，有$-n=a(-m)$，即$n=am$，满足正比例函数的定义。
对于反比例函数，有$-n=\frac{b}{-m}$，即$n=\frac{b}{m}$，满足反比例函数的定义。
由于$b=am^2$，我们可以验证在点$(-m,-n)$处，两个函数的函数值仍然相等，
因此，点$(-m,-n)$是正比例函数和反比例函数的另一个交点。
【答案】：$(-m,-n)$

14. 如图,一直线与两坐标轴的正半轴分别交于$A$,$B$两点,$P是线段AB$上任意一点(不包括端点),过$P$分别作两坐标轴的垂线,与两坐标轴围成的矩形的周长为 10,则该直线的函数表达式是______。



$y = -x + 5$

答案： 【解析】：
本题主要考查了一次函数的应用以及矩形的性质。
设点$P$的坐标为$(x, y)$，由于$P$在线段$AB$上，且$A$，$B$分别为直线与两坐标轴的正半轴的交点，所以$x \gt 0$，$y \gt 0$。
过点$P$分别作两坐标轴的垂线，与两坐标轴围成的矩形，其长为$x$，宽为$y$。
根据矩形的性质，其周长为$2(x + y)$。
由题意知，这个矩形的周长为10，所以有：
$2(x + y) = 10$，
即：
$x + y = 5$，
由于点$P(x, y)$在直线上，且直线过两坐标轴的正半轴交点$A$，$B$，可以设直线的函数表达式为：
$y = kx + b \quad (k \neq 0)$，
由于直线过点$(5,0)$和$(0,5)$（因为当$x=5$时，$y=0$；当$y=5$时，$x=0$，由$x+y=5$得出），可以将这两点的坐标代入直线方程中求解$k$和$b$。
代入点$(5,0)$得：
$0 = 5k + b$，
代入点$(0,5)$得：
$5 = b$，
解这两个方程，得到：
$k = -1$，
$b = 5$，
所以，该直线的函数表达式为：
$y = -x + 5$。
【答案】：
$y = -x + 5$。

15. 若点$M(a + 3,a - 1)$在平面直角坐标系的y轴上,则$a = $-3；若点$P(m,n)$的坐标满足$m + n = mn$,则称点$P$为“和谐点”,请写出一个“和谐点”的坐标(2,2)。

答案： 【解析】：
本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标特性及代数方程的求解。
对于点$M(a + 3, a - 1)$在$y$轴上的情况，由于$y$轴上点的横坐标都为0，因此有$a + 3 = 0$，解这个方程即可求出$a$的值。
对于“和谐点”$P(m, n)$，需要满足条件$m + n = mn$。这是一个关于$m$和$n$的二元一次方程，可以通过代数方法求解出满足条件的$m$和$n$的值，从而得到一个“和谐点”的坐标。
【答案】：
解：
由于点$M(a + 3, a - 1)$在$y$轴上，根据$y$轴的性质，其横坐标必须为0，即：
$a + 3 = 0$
解得：
$a = -3$
对于“和谐点”$P(m, n)$，需要满足：
$m + n = mn$
取$m = 2$，代入上式得：
$2 + n = 2n$
解得：
$n = 2$
所以，一个“和谐点”的坐标为$(2, 2)$。（答案不唯一）
故答案为：$a = -3$；一个“和谐点”的坐标为$(2, 2)$（答案不唯一）。

16. 星期天,小明上午$8:00$从家里出发,骑车到图书馆去借书,再骑车回到家。他离家的距离$y$(千米)与时间$t$(分钟)的关系如图所示,则上午$8:45$小明离家的距离是1千米。

答案：

解：由图可知，小明从家出发到图书馆的过程中，8:00出发，8:30到达图书馆，此时离家距离为4千米，之后开始返回，8:50到家。

上午8:45处于返回阶段，即30分钟到50分钟之间。设返回时距离y与时间t的函数关系式为$y = kt + b$（$k \neq 0$）。

当$t = 30$时，$y = 4$；当$t = 50$时，$y = 0$。代入可得：

$\begin{cases}30k + b = 4 \\50k + b = 0\end{cases}$

解得：$k = -\frac{1}{5}$，$b = 10$，所以函数关系式为$y = -\frac{1}{5}t + 10$。

当$t = 45$时，$y = -\frac{1}{5} × 45 + 10 = -9 + 10 = 1$。

1

17. 1896 年,挪威生理学家古德贝发现,每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点,这就导致每个人在蒙上眼睛行走时,虽然主观上沿某一方向直线前进,但实际上走出的是一个大圆圈,这就是有趣的“瞎转圈”现象,经研究,某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径$y$(米)是其两腿迈出的步长之差$x$(厘米)$(x ＞ 0)$的反比例函数,其图象如图所示。若此人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于 35 米,则其两腿迈出的步长之差最多是______厘米。


0.4

答案： 【解析】：本题可先根据反比例函数的图象过点$(2,7)$求出反比例函数的表达式，再结合此人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于$35$米这一条件，求出两腿迈出的步长之差的最大值。
步骤一：求反比例函数的表达式
设反比例函数的表达式为$y = \frac{k}{x}(k\neq 0)$，因为函数图象过点$(2,7)$，将$x = 2$，$y = 7$代入到$y = \frac{k}{x}$中，可得$7 = \frac{k}{2}$，解得$k = 14$，所以反比例函数的表达式为$y = \frac{14}{x}$。
步骤二：根据条件列不等式并求解
已知此人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于$35$米，即$y\geq35$，将$y = \frac{14}{x}$代入$y\geq35$中，得到$\frac{14}{x}\geq35$。
因为$x\gt0$，不等式两边同时乘以$x$，不等号方向不变，可得$14\geq35x$，再两边同时除以$35$，解得$x\leq\frac{14}{35} = 0.4$。
【答案】：$0.4$

18. 如图,函数$y = \frac{1}{x}(x ＞ 0)和y = \frac{4}{x}的图象分别是l_{1}和l_{2}$,设点$P在l_{2}$上,$PA // y轴交于点A$,$PB // x轴交l_{1}于点B$,$\triangle PAB$的面积为______。

$\frac{9}{8}$

答案： 解：设点P的坐标为$(a,\frac{4}{a})$，其中$a＞0$。
因为$PA// y$轴交$l_1$于点A，所以点A的横坐标为$a$。又因为点A在$y=\frac{1}{x}(x＞0)$上，所以点A的坐标为$(a,\frac{1}{a})$。
因为$PB// x$轴交$l_1$于点B，所以点B的纵坐标为$\frac{4}{a}$。又因为点B在$y=\frac{1}{x}(x＞0)$上，所以$\frac{4}{a}=\frac{1}{x}$，解得$x=\frac{a}{4}$，即点B的坐标为$(\frac{a}{4},\frac{4}{a})$。
则$PA=\vert\frac{4}{a}-\frac{1}{a}\vert=\frac{3}{a}$，$PB=\vert a-\frac{a}{4}\vert=\frac{3a}{4}$。
因为$PA// y$轴，$PB// x$轴，所以$\angle APB=90^\circ$，即$\triangle PAB$是直角三角形。
所以$\triangle PAB$的面积为$\frac{1}{2}× PA× PB=\frac{1}{2}×\frac{3}{a}×\frac{3a}{4}=\frac{9}{8}$。
答案：$\frac{9}{8}$