《2025年本土假期作业巩固训练八年级数学》

专题 3 方差
知识清单
1. 方差用来衡量一组数据的离散程度（即这组数据偏离平均数的大小）。
2. 方差：样本 $ x_1,x_2,x_3,x_4,\cdots,x_n $ 的平均数是 $ \overline{x} $，则样本的方差为$s^2 = \frac{1}{n}[(x_1 - \overline{x})^2 + (x_2 - \overline{x})^2 + \ldots + (x_n - \overline{x})^2]$。
3. 方差越大，数据的波动越大，数据越不稳定；方差越小，数据的波动越小，数据越稳定。

答案： 【解析】：
本题主要考查了方差的概念、计算以及方差与数据波动的关系。
1. 方差是用来衡量一组数据偏离其平均数的大小，即数据的离散程度。
2. 方差的计算公式是基于每个数据与平均数的差的平方的平均值。对于样本$x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n$，其平均数为$\overline{x}$，则方差$s^2$的计算公式为：
$s^2 = \frac{1}{n}[(x_1 - \overline{x})^2 + (x_2 - \overline{x})^2 + \ldots + (x_n - \overline{x})^2]$
3. 方差与数据的波动有直接关系。方差越大，说明数据偏离平均数的程度越大，即数据的波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，数据的波动越小，数据越稳定。
【答案】：
1. 平均数
2. $s^2 = \frac{1}{n}[(x_1 - \overline{x})^2 + (x_2 - \overline{x})^2 + \ldots + (x_n - \overline{x})^2]$
3. 越大；不稳定；越小；稳定

例 1 如果一组数据 6，7，$ x $，9，5 的平均数是 $ 2x $，那么这组数据的方差为（）

A.4
B.3
C.2
D.1

答案： 【解析】：
首先，根据平均数的定义，我们有：
$\frac{6 + 7 + x + 9 + 5}{5} = 2x$
解这个方程，我们得到：
$6 + 7 + x + 9 + 5 = 10x$
$27 + x = 10x$
$9x = 27$
$x = 3$
得到 $x = 3$ 后，我们可以计算这组数据的方差。
方差 $s^2$ 的定义为：
$s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$
其中 $n$ 是数据的数量，$x_i$ 是每一个数据，$\bar{x}$ 是平均数。
将 $x = 3$ 代入原数据，得到数据组为 $6, 7, 3, 9, 5$，其平均数为 $2 × 3 = 6$。
计算方差：
$s^2 = \frac{1}{5} \left[ (6 - 6)^2 + (7 - 6)^2 + (3 - 6)^2 + (9 - 6)^2 + (5 - 6)^2 \right]$
$s^2 = \frac{1}{5} \left[ 0 + 1 + 9 + 9 + 1 \right]$
$s^2 = \frac{1}{5} × 20$
$s^2 = 4$
【答案】：
A. $4$

例 2 甲、乙两人进行飞镖比赛，每人投 5 次，所得平均环数相等，其中甲所得环数的方差为 5，乙所得环数如下：2，3，5，7，8，那么成绩较稳定的是________。（选填“甲”或“乙”）

答案： 【解析】：
本题考查了方差的定义和性质。方差是衡量数据波动大小的一个指标，方差越小，表示数据越稳定，波动越小。
首先，我们需要计算乙所得环数的方差。
乙的平均环数为：
$\overset{―}{x} = \frac{1}{5}(2 + 3 + 5 + 7 + 8) = 5$
接下来，我们计算乙的方差 $s^{2}$：
$s^{2} = \frac{1}{5}\lbrack(2 - 5)^{2} + (3 - 5)^{2} + (5 - 5)^{2} + (7 - 5)^{2} + (8 - 5)^{2}\rbrack$
$= \frac{1}{5}×(9 + 4 + 0 + 4 + 9)$
$= \frac{1}{5} × 26$
$= 5.2$
已知甲的方差为5，比较甲、乙两人的方差，我们有 $s_{甲}^{2} = 5 ＜ s_{乙}^{2} = 5.2$。
由于方差越小，数据越稳定，所以甲的成绩更稳定。
【答案】：甲

例 3 甲、乙两名队员参加射击训练，成绩分别被制成下列两个统计图：

根据以上信息，整理分析数据如下：
| |平均成绩/环|中位数/环|众数/环|方差/环|
|----|----|----|----|----|
|甲|$ a $|7|7|1.2|
|乙|7|$ b $|8|$ c $|
（1）写出表格中 $ a,b,c $ 的值；
（2）分别运用表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练成绩。若选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员？

答案： 【解析】：（1）本题考查利用平均数的计算公式计算平均成绩，利用中位数的定义求中位数，利用方差公式计算方差。
甲的平均成绩计算：
根据平均数的定义，平均成绩是所有成绩之和除以成绩的数量。
甲的成绩分布为：5环1次，6环2次，7环4次，8环2次，9环1次。
因此，甲的平均成绩 $a = \frac{(5 × 1 + 6 × 2 + 7 × 4 + 8 × 2 + 9 × 1)}{(1 + 2 + 4 + 2 + 1)} = 7$（环）。
乙的中位数计算：
将乙的成绩从小到大排列：3，4，6，7，7，8，8，8，9，10。
由于成绩数量是偶数，中位数是中间两个数的平均值，即 $b = \frac{(7 + 8)}{2} = 7.5$（环）。
乙的方差计算：
方差是每个数据与平均数的差的平方的平均值。
乙的平均成绩也是7环。
因此，乙的方差 $c = \frac{1}{10} × [(3 - 7)^{2} + (4 - 7)^{2} + (6 - 7)^{2} + 2 × (7 - 7)^{2} + 3 × (8 - 7)^{2} + (9 - 7)^{2} + (10 - 7)^{2}] = \frac{1}{10} × (16 + 9 + 1 + 3 + 4 + 9)= 4.2$。
（2）本题考查平均数、中位数、众数和方差在数据分析中的应用。
平均数分析：
甲和乙的平均成绩都是7环，说明两人的总体水平相当。
中位数分析：
甲的中位数是7环，乙的中位数是7.5环。
这意味着乙在射击中更频繁地获得高于7环的成绩。
众数分析：
甲的众数是7环，乙的众数是8环。
这表明甲更常射中7环，而乙更常射中8环。
方差分析：
甲的方差较小（1.2），说明甲的成绩更稳定，波动较小；乙的方差较大（4.2），说明乙的成绩波动较大，但获得高分的可能性也更大。
综合以上分析，虽然甲的成绩更稳定，但乙获得高分的可能性更大。
因此，如果目标是选派一名可能获得更高分的队员，应选择乙。
【答案】：
（1）$a=7$，$b=7.5$，$c=4.2$。
（2）乙。

1. 某地统计最近五年报名参加中考人数增长率分别为：3.9%，4.3%，3.7%，4.3%，4.7%，业内人士评论说：“这五年中考人数增长率相当平稳”，从统计角度看，“增长率相当平稳”说明这组数据________比较小（A）
A.方差
B.平均数
C.众数
D.中位数

答案： 【解析】：
本题考察的是对统计数据的理解以及方差、平均数、众数、中位数概念的应用。题目中提到了“增长率相当平稳”，这通常意味着数据之间的波动较小。在统计学中，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定。
平均数表示一组数据的平均水平；众数是一组数据中出现次数最多的数值；中位数是将一组数据从小到大排序后，位于中间位置的数值。这三个统计量都不能直接反映数据的波动情况。
因此，从统计角度看，“增长率相当平稳”说明这组数据的方差比较小。
【答案】：
A.方差

2. 某校举行健美操比赛，甲、乙两个班各选 10 名学生参加比赛，两个班参赛学生的平均身高都是 1.65 米，其方差分别是 $ s_{甲}^2 = 1.9 $，$ s_{乙}^2 = 2.4 $，则参赛学生身高比较整齐的班级是（A）
A.甲班
B.乙班
C.同样整齐
D.无法确定

答案： 【解析】：
本题考查方差的意义。方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定。
题目中给出了甲、乙两个班级学生的身高方差，分别是 $s_{甲}^2 = 1.9$ 和 $s_{乙}^2 = 2.4$。
根据方差的意义，我们可以判断，由于 $s_{甲}^2 ＜ s_{乙}^2$，甲班的学生身高数据波动较小，因此甲班的学生身高更加整齐。
【答案】：
A.甲班