《2025年本土假期作业巩固训练八年级数学》

专题 1 函数的相关概念
知识清单
1. 在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量，数值始终不变的为常量。
2. 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量$x$和$y$，对于变量$x$的每一个值，变量$y$都有唯一的值和它对应，我们就把$x$称为自变量，$y$则是函数。在研究函数时，必须注意自变量的取值范围，实际问题中自变量的取值必须符合实际意义。

答案： 【解析】：
本题考查函数的基本概念。第一题考查变量的定义，根据函数的定义，我们知道在一个变化过程中，数值发生变化的量被称为变量，而数值始终不变的量被称为常量。第二题考查自变量和函数的定义，题目描述了两个变量$x$和$y$之间的关系，其中$x$是自变量，$y$是因变量，也就是函数。自变量是独立变化的，而因变量则依赖于自变量的变化。
【答案】：
1. 变量；常量
2. 自变量；函数

例 1 笔记本每本$a$元,买 3 本笔记本共支出$y$元,下列选项判断正确的有 (  )

A.$a$是常量时,$y$是变量
B.$a$是变量时,$y$是常量
C.$a$是变量时,$y$也是变量
D.无论$a$是常量还是变量,$y$都是变量

答案： 解：
A. 当$a$是常量时，$y = 3a$，$y$的值随$a$的确定而确定，此时$y$是常量，A错误；
B. 当$a$是变量时，$y = 3a$，$y$的值随$a$的变化而变化，$y$是变量，B错误；
C. 当$a$是变量时，$y = 3a$，$y$随$a$变化，$y$也是变量，C正确；
D. 当$a$是常量时，$y$是常量，D错误。
结论：正确的选项是C。

例 2 下列各曲线中,表示$y是x$的函数的是 (  )

答案： 解：根据函数定义，对于x的每一个确定值，y都有唯一确定的值与其对应。
A选项，存在一个x值对应两个y值，不符合；
B选项，存在一个x值对应两个y值，不符合；
C选项，存在一个x值对应两个y值，不符合；
D选项，对于每个x值，y值唯一确定，符合。
结论：D

例 3 在函数$y= \frac{\sqrt{3x + 1}}{x - 2}$中,自变量$x的取值范围是x\geq -\frac{1}{3}且x\neq 2$。

答案： 解：要使函数$y= \frac{\sqrt{3x + 1}}{x - 2}$有意义，需满足：
1. 被开方数非负：$3x + 1\geq 0$，解得$x\geq -\frac{1}{3}$；
2. 分母不为零：$x - 2\neq 0$，解得$x\neq 2$。
综上，自变量$x$的取值范围是$x\geq -\frac{1}{3}$且$x\neq 2$。

例 4 已知$f(x)= 2x^3 - 1$,且$f(a)= 15$,那么$a$的值是 2。

答案： 解：因为$f(x) = 2x^3 - 1$，且$f(a) = 15$，所以将$x = a$代入函数可得：
$2a^3 - 1 = 15$
$2a^3 = 15 + 1$
$2a^3 = 16$
$a^3 = 8$
$a = 2$
结论：$a$的值是$2$。

1. 如图,把两根木条$AB和AC的一端A$用螺栓固定在一起,木条$AC自由转动至AC'$的位置。在转动过程中,是常量的为 (D)
A.$\angle BAC$的度数
B.$BC$的长度
C.$\triangle ABC$的面积
D.$AC$的长度

答案： 解：在转动过程中，木条AC绕点A转动至AC'位置。
选项A：∠BAC的度数随转动发生变化，不是常量。
选项B：BC的长度随∠BAC的变化而变化，不是常量。
选项C：△ABC的面积随BC长度及高的变化而变化，不是常量。
选项D：AC为木条，其长度固定不变，是常量。
D

2. 下列表达式中,$y不是x$的函数的是 (A)
A.$y= \pm 6x$
B.$y = 6x^2 + x + 1$
C.$y = 6x + 3$
D.$y= \frac{6}{x}$

答案： 解：根据函数定义，对于x的每一个确定值，y都有唯一确定的值与之对应。
A选项中，当x取一个值时，y有两个值（±6x）与之对应，不符合函数定义。
B、C、D选项中，对于x的每一个确定值，y都有唯一确定的值与之对应，符合函数定义。
答案：A

3. 下列各图象中,$y不是x$的函数的是 (D)

答案： 解：根据函数定义，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应。
选项D中，存在一个x值对应两个y值，不满足函数定义。
答案：D

4. 已知函数$y= \frac{\sqrt{x + 2}}{x - 2}$,则自变量$x$的取值范围是$x \geq -2$且$x \neq 2$,若$x = 10$,则$y = $$\frac{\sqrt{3}}{4}$。

答案： 解：要使函数$y= \frac{\sqrt{x + 2}}{x - 2}$有意义，需满足：
$\begin{cases}x + 2 \geq 0 \\x - 2 \neq 0\end{cases}$
解得$x \geq -2$且$x \neq 2$。
当$x = 10$时，$y = \frac{\sqrt{10 + 2}}{10 - 2} = \frac{\sqrt{12}}{8} = \frac{2\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{4}$。
自变量$x$的取值范围是$x \geq -2$且$x \neq 2$，若$x = 10$，则$y = \frac{\sqrt{3}}{4}$。

5. 如图是一个运算程序示意图,若第一次输入 1,则输出的结果是11。

答案： 解：第一次输入 $ x=1 $，计算 $ y=1^2 + 2×1 + 3 = 1 + 2 + 3 = 6 $。
因为 $ 6 ＜ 9 $，所以 $ x $ 加 1 后重新输入，此时 $ x=2 $。
第二次输入 $ x=2 $，计算 $ y=2^2 + 2×2 + 3 = 4 + 4 + 3 = 11 $。
因为 $ 11 ＞ 9 $，输出 $ y=11 $。
11