《2025年本土假期作业巩固训练八年级数学》

例 1 如图,一次函数$y = kx + b与y = x + 2的图象相交于点P(m,4)$,则关于$x$,$y的二元一次方程组\begin{cases}kx - y = -b\\y - x = 2\end{cases} $的解是 (  )

A.$\begin{cases}x = 4\\y = 2\end{cases} $
B.$\begin{cases}x = 2\\y = 4\end{cases} $
C.$\begin{cases}x = 1.8\\y = 4\end{cases} $
D.$\begin{cases}x = 2.4\\y = 4\end{cases} $

答案： 解：因为点$P(m,4)$在直线$y = x + 2$上，所以将$y = 4$代入$y = x + 2$，得$4 = x + 2$，解得$x = 2$，所以点$P$的坐标为$(2,4)$。
由于二元一次方程组$\begin{cases}kx - y = -b \\ y - x = 2\end{cases}$的解就是一次函数$y = kx + b$与$y = x + 2$图象的交点坐标，所以方程组的解为$\begin{cases}x = 2 \\ y = 4\end{cases}$。
答案：B

例 2 如图,若一次函数$y = -2x + b的图象交y轴于点A(0,3)$,则不等式$-2x + b\gt 0$的解集为 (  )


A.$x\gt\frac{3}{2}$
B.$x\gt 3$
C.$x\lt\frac{3}{2}$
D.$x\lt 3$

答案： 解：
∵一次函数$y=-2x+b$的图象交$y$轴于点$A(0,3)$，
∴将$x=0$，$y=3$代入$y=-2x+b$，得$3=-2×0 + b$，解得$b=3$，
∴一次函数表达式为$y=-2x + 3$。
令$y=0$，则$-2x + 3=0$，解得$x=\frac{3}{2}$，
∴一次函数$y=-2x + 3$的图象与$x$轴交于点$(\frac{3}{2},0)$。
∵$k=-2\lt0$，
∴$y$随$x$的增大而减小，
∴不等式$-2x + 3\gt0$的解集为$x\lt\frac{3}{2}$。
答案：C

例 3 已知一次函数$y = kx + b$($k\neq 0$)的图象经过$A(1,3)$,$B(0,-2)$两点,试求$k$,$b$的值。

答案： 解：把$A(1,3)$，$B(0,-2)$代入$y = kx + b$，
得$\begin{cases}k + b = 3 \\ b = -2\end{cases}$，
解得$\begin{cases}k = 5 \\ b = -2\end{cases}$。

例 4 甲、乙两个探测气球分别从海拔 5 m 和 15 m 处同时出发,匀速上升 60 min,如图是甲、乙两个探测气球所在位置的海拔$y$(单位：m)与气球上升时间$x$(单位：min)的函数图象。
(1)求这两个气球在上升过程中$y关于x$的函数表达式；
(2)当这两个气球的海拔高度相差 15 m 时,求上升的时间。

答案：
(1)设甲气球的函数表达式为$y = kx + b$，乙气球的函数表达式为$y = mx + n$。
将$(0,5)$，$(20,25)$代入甲气球表达式：$\begin{cases}5 = b \\25 = 20k + b\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 1 \\b = 5\end{cases}$，故甲：$y = x + 5$。
将$(0,15)$，$(20,25)$代入乙气球表达式：$\begin{cases}15 = n \\25 = 20m + n\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = \frac{1}{2} \\n = 15\end{cases}$，故乙：$y=\frac{1}{2}x + 15$。
(2)当$x＞20$时，甲海拔高于乙，$x + 5-(\frac{1}{2}x + 15)=15$，解得$x = 50$。
当$0\leq x＜20$时，乙海拔高于甲，$\frac{1}{2}x + 15-(x + 5)=15$，解得$x=-10$（舍去）。
综上，上升时间为$50$min。