《2025年本土假期作业巩固训练八年级数学》

1. 某项道路改造工程工效平均提速 $a$ km/h,用相同的时间,工程提效前能完成 $b$ km,提效后比提效前多完成 66 km,则方程 $\frac {b}{x}+a= \frac {b+66}{x}$ 所表达的等量关系是(B)
A.提效前工程完成 $b$ km 与提效后完成 $(b + 66)$km 的时间相等
B.提效后工程每小时比提效前每小时多完成 $a$ km
C.提效后工程完成 $(b + 66)$km 的时间比提效前工程完成 $b$ km 多 $a$ h
D.提效后工程用相同的时间可以比提效前多完成 66 km

答案： 解：设提效前的时间为$x$小时，提效前的速度为$\frac{b}{x}$km/h，提效后的速度为$\frac{b + 66}{x}$km/h。方程$\frac{b}{x}+a=\frac{b + 66}{x}$表示提效后的速度等于提效前的速度加上$a$km/h，即提效后工程每小时比提效前每小时多完成$a$km。
B

2. 甲、乙两人完成一项工作,甲先做了 3 天,然后乙加入合作,完成剩下的工作,设工作总量为 1,工作进度如表：
|天数|第 3 天|第 5 天|
|工作进度|$\frac {1}{4}$|$\frac {1}{2}$|
若乙单独完成这项工作,则需要(D)
A.9 天
B.10 天
C.12 天
D.24 天

答案： 解：设甲每天完成的工作量为$x$，乙每天完成的工作量为$y$。
由题意，第3天工作进度为$\frac{1}{4}$，即甲单独做3天完成$\frac{1}{4}$，可得：
$3x = \frac{1}{4}$
解得$x = \frac{1}{12}$
第5天工作进度为$\frac{1}{2}$，即从第4天到第5天（共2天）甲乙合作完成了$\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$，可得：
$2(x + y) = \frac{1}{4}$
将$x = \frac{1}{12}$代入上式：
$2(\frac{1}{12} + y) = \frac{1}{4}$
$\frac{1}{6} + 2y = \frac{1}{4}$
$2y = \frac{1}{4}-\frac{1}{6}=\frac{1}{12}$
$y = \frac{1}{24}$
乙单独完成这项工作需要的天数为：$1÷\frac{1}{24}=24$（天）
答案：D

3. 某工地调来 144 人参加挖土和运土,已知 3 人挖出的土 1 人恰好能全部运走. 怎样调配劳动力才能使挖出来的土被及时运走且不窝工(停工等待)？为解决此问题,可设 $x$ 人挖土,其他人运土. 列方程为：①$\frac {144 - x}{x}= \frac {1}{3}$；②$144 - x= \frac {x}{3}$；③$x + 3x = 144$；④$\frac {x}{144 - x}= 3$. 上述所列方程,正确的有(C)
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

答案： 【解析】：
首先，我们分析题目的背景：这是一个关于工地人员分配问题，需要找到合适的挖土和运土的人数分配，使得挖出的土能够及时被运走。
设$x$人挖土，那么剩下的人$144 - x$则负责运土。
根据题意，3人挖出的土，1人可以运走，即挖土人数与运土人数的比例应为3:1。
接下来，我们逐一检验给出的方程：
① $\frac {144 - x}{x}= \frac {1}{3}$
这个方程表示运土人数与挖土人数的比例为1/3，与题意相符，所以此方程是正确的。
② $144 - x= \frac {x}{3}$
这个方程可以转化为：$3(144 - x) = x$，即表示每3个挖土的人对应1个运土的人，与题意相符，所以此方程也是正确的。
③ $x + 3x = 144$
这个方程表示挖土人数的4倍等于总人数，但根据题意，应该是挖土人数的1/3等于运土的人数，所以此方程是错误的。
④ $\frac {x}{144 - x}= 3$
这个方程表示挖土人数与运土人数的比例为3，与题意相符（即挖土人数是运土人数的3倍），所以此方程是正确的。
综上，方程①、②和④是正确的，方程③是错误的。
【答案】：C. 3 个。

4. 为锻炼身体,增强体质,小明长期坚持在环形操场上跑步. 如果小明跑第一圈的速度为 $v_{1}$ km/h,小明跑第二圈的速度为 $v_{2}$ km/h,那么小明跑这两圈的平均速度是(B)
A.$\frac {v_{1}+v_{2}}{2}$ km/h
B.$\frac {2v_{1}v_{2}}{v_{1}+v_{2}}$ km/h
C.$\frac {v_{1}v_{2}}{v_{1}+v_{2}}$ km/h
D.$(v_{1}+v_{2})$ km/h

答案： 【解析】：
本题主要考察平均速度的计算以及分式的运用。
平均速度的定义是总距离除以总时间。
设每一圈的距离为$s$ km。
第一圈的时间为$\frac{s}{v_{1}}$小时，第二圈的时间为$\frac{s}{v_{2}}$小时。
两圈的总距离为$2s$ km，总时间为$\frac{s}{v_{1}} + \frac{s}{v_{2}}$小时。
因此，平均速度$v$为：
$v = \frac{2s}{\frac{s}{v_{1}} + \frac{s}{v_{2}}}$，
将上式中的$s$约去，得到：
$v = \frac{2}{\frac{1}{v_{1}} + \frac{1}{v_{2}}}$，
进一步化简，得到：
$v = \frac{2v_{1}v_{2}}{v_{1} + v_{2}} \text{ km/h}$。
【答案】：B. $\frac {2v_{1}v_{2}}{v_{1}+v_{2}}$ km/h。

5. 如图是学习分式方程应用时,老师板书的问题和两名同学所列的方程.
例：有甲、乙两个工程队,甲队修路 400 米与乙队修路 600 米所用时间相等,乙队每天比甲队多修 20 米,求甲队每天修路的长度.
冰冰：$\frac {400}{x}= \frac {600}{x + 20}$,
庆庆：$\frac {600}{y}-\frac {400}{y}= 20$.
方程中的 $x$ 和 $y$ 表示的意义,下列说法错误的是( B )
A.$x$ 表示甲队每天修路的长度
B.$x$ 表示乙队每天修路的长度
C.$y$ 表示甲队修 400 米所用的时间
D.$y$ 表示乙队修 600 米所用的时间

答案： 【解析】：
本题考察的是对分式方程应用的理解以及变量意义的识别。
首先，我们分析题目中的信息：
甲队修路400米与乙队修路600米所用时间相等。
乙队每天比甲队多修20米。
需要求甲队每天修路的长度。
接着，我们分析两名同学所列的方程：
冰冰的方程：$\frac{400}{x} = \frac{600}{x + 20}$
这个方程表示甲队修400米所用的时间与乙队修600米所用的时间相等，其中$x$代表甲队每天修路的长度，$x+20$代表乙队每天修路的长度。
庆庆的方程：$\frac{600}{y} - \frac{400}{y} = 20$
这个方程表示乙队每天比甲队多修20米的路程，在相同时间$y$内，乙队修的路程减去甲队修的路程等于20米的“距离差”转化为的“长度差”（这里需要注意，实际上这个方程是通过时间相等关系转化来的，直接表示的是每天修路的长度差，但可以通过时间相等关系理解）。其中$y$代表甲队（或乙队）修路所用的时间。
现在，我们对比选项：
A. $x$表示甲队每天修路的长度：这是正确的，与冰冰的方程中的$x$意义相符。
B. $x$表示乙队每天修路的长度：这是错误的，冰冰的方程中$x$代表甲队，而乙队是$x+20$。
C. $y$表示甲队修400米所用的时间：这是正确的，与庆庆的方程中的$y$意义相符（虽然庆庆的方程是通过时间关系转化来的，但$y$确实可以表示甲队修400米所用的时间）。
D. $y$表示乙队修600米所用的时间：这也是正确的，因为题目中说明甲队修400米与乙队修600米所用时间相等，所以$y$同样可以表示乙队修600米所用的时间。
综上所述，选项B是错误的。
【答案】：B

6. 已知 $x = 1 + 7^{n}$,$y = 1 + 7^{-n}$,则用 $x$ 表示 $y$ 的结果正确的是(C)
A.$\frac {x + 1}{x - 1}$
B.$\frac {x + 1}{x + 1}$
C.$\frac {x}{x - 1}$
D.$7 - x$

答案： 【解析】：
本题主要考察分式的运算以及指数的性质。
首先，有 $x = 1 + 7^{n}$，可以解出 $7^{n}$ 为 $7^{n} = x - 1$。
接着，考虑 $y = 1 + 7^{-n}$，根据指数的性质，知道 $7^{-n} = \frac{1}{7^{n}}$。
将 $7^{n} = x - 1$ 代入 $7^{-n} = \frac{1}{7^{n}}$，得到 $7^{-n} = \frac{1}{x - 1}$。
最后，将 $7^{-n} = \frac{1}{x - 1}$ 代入 $y = 1 + 7^{-n}$，得到 $y = 1 + \frac{1}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$。
【答案】：
C. $\frac {x}{x - 1}$。