《2025年本土假期作业巩固训练八年级数学》

1. 试卷上一个正确的式子$(\frac{1}{a + b}+\frac{1}{a - b})÷★= \frac{2}{a + b}$被小颖同学不小心滴上墨汁.被墨汁遮住部分的代数式为(A)
A.$\frac{a}{a - b}$
B.$\frac{a - b}{a}$
C.$\frac{a}{a + b}$
D.$\frac{4a}{a^{2}-b^{2}}$

答案： 解：设被墨汁遮住部分的代数式为$x$，则有
$\left(\frac{1}{a + b} + \frac{1}{a - b}\right) ÷ x = \frac{2}{a + b}$
先计算括号内的加法：
$\frac{1}{a + b} + \frac{1}{a - b} = \frac{(a - b) + (a + b)}{(a + b)(a - b)} = \frac{2a}{a^2 - b^2}$
由原式可得$x = \frac{2a}{a^2 - b^2} ÷ \frac{2}{a + b}$，即
$x = \frac{2a}{(a + b)(a - b)} × \frac{a + b}{2} = \frac{a}{a - b}$
答案：A

2. 设$P= \frac{a}{a + 1}-\frac{b}{b + 1},q= \frac{1}{a + 1}-\frac{1}{b + 1}$,则 p,q 的关系是(C)
A.$p = q$
B.$p＞q$
C.$p + q = 0$
D.$p＜q$

答案： 解：
$\begin{aligned}P&=\frac{a}{a+1}-\frac{b}{b+1}\\&=\frac{a(b+1)-b(a+1)}{(a+1)(b+1)}\\&=\frac{ab+a-ab-b}{(a+1)(b+1)}\\&=\frac{a-b}{(a+1)(b+1)}\end{aligned}$
$\begin{aligned}q&=\frac{1}{a+1}-\frac{1}{b+1}\\&=\frac{(b+1)-(a+1)}{(a+1)(b+1)}\\&=\frac{b+1-a-1}{(a+1)(b+1)}\\&=\frac{b-a}{(a+1)(b+1)}\end{aligned}$
$P+q=\frac{a-b}{(a+1)(b+1)}+\frac{b-a}{(a+1)(b+1)}=\frac{(a-b)+(b-a)}{(a+1)(b+1)}=0$
答案：C

3. 照相机成像应用了一个重要原理,用公式$\frac{1}{f}= \frac{1}{u}+\frac{1}{v}(v≠f)$表示,其中 f 表示照相机镜头的焦距,u 表示物体到镜头的距离,v 表示胶片(像)到镜头的距离.已知 f,v,则$u = $$\frac{fv}{v - f}$.

答案： 解：由$\frac{1}{f} = \frac{1}{u} + \frac{1}{v}$，移项得$\frac{1}{u} = \frac{1}{f} - \frac{1}{v}$。
通分，$\frac{1}{u} = \frac{v - f}{fv}$。
两边取倒数，$u = \frac{fv}{v - f}$。
故答案为：$\frac{fv}{v - f}$

4. 计算：$\frac{x^{2}-4}{x^{2}-4x + 4}÷\frac{x^{2}+2x}{2x - 4}-\frac{1}{x}$.

答案： 解：原式$=\frac{(x+2)(x-2)}{(x-2)^2} \cdot \frac{2(x-2)}{x(x+2)} - \frac{1}{x}$
$=\frac{2}{x} - \frac{1}{x}$
$=\frac{1}{x}$

5. 先化简：$(1+\frac{2}{a + 1})÷\frac{a^{2}+6a + 9}{a + 1}$,再从 -3,-1,2 中选择合适的 a 的值代入求值.

答案： 解：原式$=(1+\frac{2}{a + 1})÷\frac{a^{2}+6a + 9}{a + 1}$
$=(\frac{a+1}{a+1}+\frac{2}{a+1})÷\frac{(a+3)^2}{a+1}$
$=\frac{a+3}{a+1}×\frac{a+1}{(a+3)^2}$
$=\frac{1}{a+3}$
要使原式有意义，则$a+1≠0$且$a+3≠0$，即$a≠-1$且$a≠-3$，所以选择$a=2$。
当$a=2$时，原式$=\frac{1}{2+3}=\frac{1}{5}$。

专题 3 零指数幂与负整数指数幂
知识清单
1. (1)零指数幂：任何不等于零的数的零次幂都等于1.
(2)负整数指数幂：当 n 是正整数时，$a^{-n} = $$\frac{1}{a^{n}}$$(a≠0)$.
2. 用科学记数法表示一些绝对值较小的数
利用 10 的负整数次幂，把一个绝对值小于 1 的数表示成$a×10^{-n}$的形式，其中 n 是正整数，$1≤|a|＜10$.n 等于原数左边第一个非零数字前所有零的个数(特别注意：包括小数点前面这个零).

答案： 1.
(1)1
(2)$\frac{1}{a^{n}}$
2. $a×10^{-n}$；左边第一个非零

例 1 下列结果,正确的是(  )

A.$(-56.7)^{0}= 1$
B.$\frac{1}{5}×5^{0}= 0$
C.$(-\frac{1}{5})^{-2}= \frac{1}{25}$
D.$3^{-3}= -\frac{1}{27}$

答案： 解：
A. $(-56.7)^0 = 1$（任何非零数的零次幂都等于1），正确。
B. $\frac{1}{5}×5^0 = \frac{1}{5}×1 = \frac{1}{5} ≠ 0$，错误。
C. $(-\frac{1}{5})^{-2} = (-5)^2 = 25 ≠ \frac{1}{25}$，错误。
D. $3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27} ≠ -\frac{1}{27}$，错误。
结论：正确的是A。

例 2 我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为$\frac{355}{113}$,它与π的误差小于 0.0000003.将 0.0000003 用科学记数法可以表示为(  )

A.$3×10^{-7}$
B.$0.3×10^{-6}$
C.$3×10^{-6}$
D.$3×10^{7}$

答案： 解：绝对值小于1的正数用科学记数法表示为$a×10^{-n}$，其中$1\leqslant|a|\lt10$，$n$为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数决定。
0.0000003左边起第一个不为零的数字为3，其前面有7个0，所以$0.0000003=3×10^{-7}$。
答案：A

1. 若$a = -0.2^{2},b = -2^{2},c = (-\frac{1}{2})^{-2},d = (-\frac{1}{2})^{0}$,则它们的大小关系是(A)
A.$b＜a＜d＜c$
B.$a＜b＜d＜c$
C.$a＜d＜c＜b$
D.$c＜d＜a＜b$

答案： 解：计算各值：
$a=-0.2^{2}=-0.04$
$b=-2^{2}=-4$
$c=(-\frac{1}{2})^{-2}=\frac{1}{(-\frac{1}{2})^{2}}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4$
$d=(-\frac{1}{2})^{0}=1$
比较大小：$-4＜-0.04＜1＜4$，即$b＜a＜d＜c$
答案：A