《2025年超越训练七年级数学上册人教版四川专版》

3. 我们把从 1 开始到$n$的$n$个连续自然数的立方和记作$S_{n}$，则有：
$S_{1}=1^{3}=1^{2}=\left[\dfrac{1×(1 + 1)}{2}\right]^{2}$，
$S_{2}=1^{3}+2^{3}=(1 + 2)^{2}=\left[\dfrac{2×(1 + 2)}{2}\right]^{2}$，
$S_{3}=1^{3}+2^{3}+3^{3}=(1 + 2 + 3)^{2}=\left[\dfrac{3×(1 + 3)}{2}\right]^{2}$，
……
观察上面式子的规律，解答下列各题.
(1)填空：$1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots+10^{3} =$3025；(2)计算：$2^{3}+4^{3}+6^{3}+\cdots+20^{3}$.

答案： 3.解：
(1)3025.
(2)原式$ = (2×1)^3 + (2×2)^3 + (2×3)^3 + ··· + (2×10)^3 = 8×1^3 + 8×2^3 + 8×3^3 + ··· + 8×10^3 = 8×(1^3 + 2^3 + 3^3 + ··· + 10^3) = 8×\frac{10×(1 + 10)^2}{2} = 8×3025 = 24200.$

4. 规定$a\oplus b=\left(-\dfrac{1}{a}\right)÷\dfrac{b}{2}$.例如，$2\oplus3=\left(-\dfrac{1}{2}\right)÷\dfrac{3}{2}=-\dfrac{1}{3}$，则$(-2)\oplus(-7)$的值是-\frac{1}{7}.

答案： $4.-\frac{1}{7}$

5. 定义一种新运算：$a★b★c=\dfrac{|a - b + c|-(a + b - c)}{c}$.则$(-4)★\left(-\dfrac{4}{5}\right)★2$的值是4.

答案： 5.4

6. 定义一种新运算：$a*b=\dfrac{ab}{1 - ab}$.例如，$5*3=\dfrac{5×3}{1 - 5×3}=-\dfrac{15}{14}$，则$\left(3*2\right)*\dfrac{1}{6}$的值是-\frac{1}{6}.

答案： $6.-\frac{1}{6}$

7. 已知$a$，$b$均为有理数，现定义一种新运算：$a\cap b = a^{2}+ab - 5$.则$\left[2\cap\left(-\dfrac{3}{2}\right)\right]-[(-5)\cap9]$的值是21.

答案： 7.21

8. 设$[a]$表示不超过$a$的最大整数.例如，$[2.3]=2$，$\left[-4\dfrac{1}{3}\right]=-5$，$[5]=5$，则$\left[2\dfrac{1}{5}\right]+[-3.6]-[-7]$的值是5.

答案： 8.5

9. 对于任意非零有理数$a$，$b$，定义运算“$\otimes$”，使下列式子成立：$1\otimes2=-\dfrac{3}{2}$，$2\otimes1=\dfrac{3}{2}$，$(-2)\otimes5=\dfrac{21}{10}$，$5\otimes(-2)=-\dfrac{21}{10}$，$\cdots$.求$(-3)\otimes(-5)$的值.

答案： 9.解：由题意，得$a \otimes b = \frac{a^2 - b^2}{ab}，$所以$(-3) \otimes (-5) = \frac{(-3)^2 - (-5)^2}{(-3)×(-5)} = \frac{16}{15}.$