《2025年超越训练七年级数学上册人教版四川专版》

1. 已知关于 $ x $ 的方程 $ 3x - 5 + a = bx + 1 $，求：
(1) 此方程有唯一解的条件；
(2) 此方程有无数解的条件；
(3) 此方程无解的条件。

答案： 1.解：整理原方程可得$(b - 3)x = a - 6.(1)$因为方程有唯一解，所以$b - 3 \neq 0$，即$b \neq 3.(2)$因为方程有无数解，所以$b - 3 = 0$且$a - 6 = 0$，解得$b = 3$且$a = 6.(3)$因为方程无解，所以$b - 3 = 0$且$a - 6 \neq 0$，解得$b = 3$且$a \neq 6$。

2. 已知关于 $ x $ 的方程 $ ax + 3 = 2x - b $ 有无数个解，试求 $ (a + b)^{2025}x - \frac{ab}{a + b}x = \frac{x + 1}{a - b} + 5 $ 的解。

答案： 2.解：由$ax + 3 = 2x - b$，得$(a - 2)x = - 3 - b$.因为此方程有无数个解，所以$a - 2 = 0$，$- 3 - b = 0$，解得$a = 2$，$b = - 3$.所以待解方程为$( - 1)^{2025}x - \frac{- 6}{- 1} = \frac{x + 1}{5} + 5$，即$- x - 6x = \frac{x + 1}{5} + 5$，解得$x = - \frac{13}{18}$.

3. 已知关于 $ x $ 的方程 $ \frac{5}{2}x - a = \frac{8}{5}x + 142 $ 的解为整数，则正整数 $ a $ 的最小值是2。

答案： 3.2

4. 已知关于 $ x $ 的方程 $ 3x - 1 = \frac{kx + 5}{2} $ 有整数解，求满足条件的所有整数 $ k $ 的和。

答案： 4.解：整理原方程可得$(6 - k)x = 7$.当$k \neq 6$时，方程的解为$x = \frac{7}{6 - k}$.因为$x = \frac{7}{6 - k}$为整数，所以$6 - k$的值为$\pm 1$，$\pm 7$，解得$k$的值为$5$，$7$，$- 1$，$13$，所以满足条件的所有整数$k$的和为$24$.

5. (1) 已知方程 $ (m + 2)x + 6 = 0 $ 是关于 $ x $ 的一元一次方程，若此方程的解为正整数，且 $ m $ 为整数，求 $ m $ 的值；
(2) 已知方程 $ 2x - 10 = -m|x| $ 是关于 $ x $ 的一元一次方程，若此方程的解为正整数，且 $ m $ 为整数，求 $ m $ 的值。

答案： 5.解：
(1)因为$(m + 2)x + 6 = 0$，所以$(m + 2)x = - 6$.当$m \neq - 2$时，方程的解为$x = \frac{- 6}{m + 2}$.因为$x = \frac{- 6}{m + 2}$为正整数，所以$m + 2$的值为$- 1$，$- 2$，$- 3$，$- 6$，解得$m$的值为$- 3$或$- 4$或$- 5$或$- 8$.
(2)整理原方程可得$2x + m|x| = 10$.因此方程的解是一个正整数，即$x ＞ 0$，所以$2x + mx = 10$，所以当$m \neq - 2$时，$x = \frac{10}{m + 2}$.因为$x = \frac{10}{m + 2}$为正整数，所以$m + 2$的值为$1$，$2$，$5$，$10$，解得$m$的值为$- 1$或$0$或$3$或$8$.