《2025年名校课堂七年级数学上册沪科版安徽专版》

5. 石家庄外国语校本经典题 如图,A,B,C,D是直线 l 上的四个点,M,N 分别是 AB,CD的中点. 若$MN= a,BC= b$,求线段 AD 的长.

答案： 解:因为$MN = a$，$BC = b$，所以$BM + CN = MN - BC = a - b$。因为$M$，$N$分别是$AB$，$CD$的中点，所以$AB = 2BM$，$CD = 2CN$。所以$AB + CD = 2BM + 2CN = 2(BM + CN)$。所以$AB + CD = 2(a - b)$。因为$AD = AB + CD + BC$，所以$AD = 2(a - b) + b = 2a - 2b + b = 2a - b$。

6. 如图,$∠AOB= 80^{\circ },∠AOC＜180^{\circ }$,OE 平分$∠AOD$,OF 平分$∠BOC$.若$∠COD= 50^{\circ }$,求$∠EOF$的度数.

答案： 解:因为$OE$平分$∠AOD$，$OF$平分$∠BOC$，所以设$∠AOE = ∠EOD = α$，$∠BOF = ∠FOC = β$。所以$∠AOD = ∠AOB + ∠BOD = 2α$，$∠BOC = ∠COD + ∠BOD = 2β$。所以$∠AOB + ∠COD + 2∠BOD = 2α + 2β$。因为$∠AOB = 80^{\circ }$，$∠COD = 50^{\circ }$，所以$2α + 2β = 130^{\circ } + 2∠BOD$，即$α + β - ∠BOD = 65^{\circ }$。所以$∠EOF = ∠EOD + ∠BOF - ∠BOD = α + β - ∠BOD = 65^{\circ }$。

7. 已知点 O 是直线 AB 上的一点,$∠COE= 90^{\circ },$OF 是$∠AOE$的平分线.
(1)当点 C,E,F 在直线 AB 的同侧时(如图 1所示).
①若$∠COF= 25^{\circ }$,求$∠BOE$的度数；
②若$∠COF= α^{\circ }$,则$∠BOE= $$2α$$^{\circ }$；
(2)当点 C 与点 E,F 分别在直线 AB 的两侧(如图 2 所示)时,(1)中第②问的结论是否仍然成立？请给出你的结论,并说明理由.

答案：
(1)①因为$∠COE = 90^{\circ }$，$∠COF = 25^{\circ }$，所以$∠EOF = ∠COE - ∠COF = 65^{\circ }$。因为$OF$是$∠AOE$的平分线，所以$∠AOE = 2∠EOF = 130^{\circ }$。因为$∠AOB = ∠AOE + ∠BOE = 180^{\circ }$，所以$∠BOE = 180^{\circ } - 130^{\circ } = 50^{\circ }$。②$2α$
(2)第②问的结论仍然成立。理由如下:因为$OF$是$∠AOE$的平分线，所以$∠EOF = \frac{1}{2}∠AOE$。因为$∠COE = 90^{\circ }$，所以$∠EOF = 90^{\circ } - ∠COF$，$∠AOE + ∠BOE = 180^{\circ }$。所以$90^{\circ } - ∠COF = \frac{1}{2}(180^{\circ } - ∠BOE)$。所以$∠BOE = 2∠COF$。