《2025年名校课堂七年级数学上册沪科版安徽专版》

1. (2023·六安金安区期末)如图,点 C,E,D 在线段 AB 上,$AC= 4\mathrm{c}\mathrm{m}$,$BD= 5\mathrm{c}\mathrm{m}$,$CD= 2BD$,E 是 AD 的中点,求线段 CE 的长.

答案： 解：
∵BD=5cm,CD=2BD,
∴CD=10cm.
∴AD=AC+CD=4+10=14(cm).
∵E是AD的中点，
∴AE=ED=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$×14=7(cm).
∴CE=AE−AC=7−4=3(cm).

【例 1】 如图,点 C 在线段 AB 上,M,N 分别是 AC,BC 的中点.

(1)若$AC= 9\mathrm{c}\mathrm{m}$,$CB= 6\mathrm{c}\mathrm{m}$,则线段 MN 的长为$\underline{\quad\quad}\mathrm{c}\mathrm{m}$;
(2)若$AC= a$,$CB= b$,则线段 MN 的长为$\underline{\quad\quad}$;
(3)若 C 为线段 AB 上的任意一点,且$AB= n$,其他条件不变,你能猜想 MN 的长度吗? 请用一句简洁的话描述你发现的结论.
【拓展提问】 若将题干中的“点 C 在线段 AB 上”改为“点 C 在线段 AB 的延长线上”,其他条件不变,则(3)中的结论还成立吗? 请画出图形,写出结论,并说明理由.

答案：
【例1】解：
(1)$\frac{15}{2}$
(2)$\frac{a+b}{2}$
(3)猜想：MN=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$n.结论：若C为线段AB上的任意一点，且M,N分别是AC,BC的中点，则MN=$\frac{1}{2}$AB.
【拓展提问】解：MN=$\frac{1}{2}$n成立.理由如下：如图，当点C在线段AB的延长线上时，

∵M,N分别是AC,BC的中点，
∴MC=$\frac{1}{2}$AC,NC=$\frac{1}{2}$BC.又
∵MN =MC−NC,
∴MN=$\frac{1}{2}$(AC−BC)=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$n.

2. 湖南师大附中校本经典题 如图,线段 AB 的长为 6,C 是 AB 的中点,D 是 BC 的中点,E 是 AD 的中点,求线段 AE 的长.

答案： 2.解：
∵C是AB的中点，
∴AC=BC=$\frac{1}{2}$AB=3.又
∵D是BC的中点，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=1.5.
∴AD=AB−BD=6−1.5=4.5.
∵E是AD的中点，
∴AE=$\frac{1}{2}$AD=2.25.

3. (1)如图,已知点 C 在线段 AB 上,且$AB= 20\mathrm{c}\mathrm{m}$,$BC= 8\mathrm{c}\mathrm{m}$,M,N 分别是 AB,BC 的中点,求线段 MN 的长;

解:$\because AB= 20\mathrm{c}\mathrm{m}$,M 是$\underline{AB}$的中点,
$\therefore BM= \underline{$\frac{1}{2}$}AB= 10\mathrm{c}\mathrm{m}$.
$\because BC= 8\mathrm{c}\mathrm{m}$,N 是 BC 的中点,
$\therefore BN= \underline{$\frac{1}{2}$}BC= 4\mathrm{c}\mathrm{m}$.
$\therefore MN= BM-\underline{BN}=6\mathrm{c}\mathrm{m}$.
(2)若 C 是线段 AB 上的任意一点,且$AB= a$,$BC= b$,M,N 分别是 AB,BC 的中点,求线段 MN 的长.(用含 a,b 的代数式表示)

答案： 3.解：
(1)AB $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ BN
(2)
∵AB=a,M是AB的中点，
∴BM =$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$a.
∵BC=b,N是BC的中点，
∴BN=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$b.
∴MN=BM−BN=$\frac{1}{2}$a−$\frac{1}{2}$b=$\frac{1}{2}$(a−b).