《2025年名校课堂七年级数学上册沪科版安徽专版》

10. 已知∠AOB= 70°,以O为端点作射线OC,使∠AOC= 42°,则∠BOC的度数为28°或112°.

答案： 28°或112°

11. (2023·北京)如图,∠AOC= ∠BOD= 90°,∠AOD= 126°,则∠BOC的度数为(C)

A.$36^{\circ}$
B.$44^{\circ}$
C.$54^{\circ}$
D.$63^{\circ}$

答案： C

12. 下列所给的角：①$15^{\circ}$；②$65^{\circ}$；③$75^{\circ}$；④$115^{\circ}$；⑤$135^{\circ}$,其中可以用一副三角板画出来的是(C)
A.②④⑤
B.①②④
C.①③⑤
D.①③④

答案： C

13. (2024·淮北期末)如图,已知轮船A在灯塔P的北偏东30°25′方向上,轮船B在灯塔P东南方向,则∠APB的度数为104°35′.

答案： 104°35′

14. 如图,已知,OE平分∠AOB,OF平分∠BOC,∠EOF= 65°,则∠AOC= 130°.

答案： 130

15. (教材P164习题T8变式)(2024·合肥瑶海区期末)如图,已知∠COB= 2∠AOC,OD平分∠AOB.
(1)若∠COD= 20°,求∠AOB的度数；

(2)若∠COD= $m^{\circ}$,求∠AOB的度数.

答案： 解:
(1)设∠AOC=x°.
∵∠COB=2∠AOC,
∴∠COB=2x°.
∴∠AOB=∠AOC+∠COB=3x°.
∵OD平分∠AOB,
∴∠AOD=∠BOD=1/2∠AOB=1.5x°.
∴∠COD=∠AOD-∠AOC=0.5x°=20°.
∴x=40.
∴∠AOB=3x°=3×40°=120°.
(2)同
(1)可得,∠COD=0.5x°=m°.
∴x=2m.
∴∠AOB=3x°=3×2m°=6m°.

16. (2023·合肥46中期末)探索新知：
如图1,射线OC在∠AOB的内部,图中共有3个角：∠AOB,∠AOC和∠BOC.若其中有一个角的度数是另一个角度数的2倍,则称射线OC是∠AOB的“巧分线”.
(1)一个角的平分线______这个角的“巧分线”；(填“是”或“不是”)
(2)如图2,若∠MPN= α,且射线PQ是∠MPN的“巧分线”,则∠MPQ= ______；(用含α的代数式表示出所有可能的结果)
深入研究：
(3)如图2,若∠MPN= 60°,且射线PQ从PN位置出发,绕点P以每秒15°的速度逆时针旋转,当PQ与PN成180°时停止旋转,设旋转的时间为t秒.当t为何值时,射线PM是∠QPN的“巧分线”？

(1)是
(2)$\frac{1}{3}\alpha$或$\frac{1}{2}\alpha$或$\frac{2}{3}\alpha$
(3)$t = 6$或$t = 8$

答案： 1. （1）
因为角平分线将角分成两个相等的角，即一个角是另一个角的$2$倍（$2$倍关系：$\angle AOB = 2\angle AOC=2\angle BOC$），所以一个角的平分线**是**这个角的“巧分线”。
2. （2）
已知$\angle MPN=\alpha$，射线$PQ$是$\angle MPN$的“巧分线”，分三种情况讨论：
当$\angle MPQ = 2\angle QPN$时，因为$\angle MPQ+\angle QPN=\angle MPN=\alpha$，即$2\angle QPN+\angle QPN=\alpha$，$3\angle QPN=\alpha$，$\angle QPN=\frac{1}{3}\alpha$，所以$\angle MPQ=\frac{2}{3}\alpha$；
当$\angle QPN = 2\angle MPQ$时，因为$\angle MPQ+\angle QPN=\angle MPN=\alpha$，即$\angle MPQ + 2\angle MPQ=\alpha$，$3\angle MPQ=\alpha$，所以$\angle MPQ=\frac{1}{3}\alpha$；
当$\angle MPN = 2\angle MPQ$时，$\angle MPQ=\frac{1}{2}\alpha$。
所以$\angle MPQ=\frac{1}{3}\alpha$或$\frac{1}{2}\alpha$或$\frac{2}{3}\alpha$。
3. （3）
解：已知$\angle MPN = 60^{\circ}$，$\angle QPN=15t^{\circ}$。
因为射线$PM$是$\angle QPN$的“巧分线”，分三种情况讨论：
①当$\angle QPM = 2\angle MPN$时，$\angle QPN=\angle QPM+\angle MPN$，$\angle QPM = 2×60^{\circ}=120^{\circ}$，$\angle QPN=\angle QPM+\angle MPN=180^{\circ}$（不符合$PQ$与$PN$成$180^{\circ}$时停止旋转的条件，舍去）；
②当$\angle MPN = 2\angle QPM$时，$\angle QPM=\frac{1}{2}\angle MPN = 30^{\circ}$，则$\angle QPN=\angle QPM+\angle MPN=30^{\circ}+60^{\circ}=90^{\circ}$，又因为$\angle QPN = 15t^{\circ}$，所以$15t=90$，解得$t = 6$；
③当$\angle QPN = 2\angle MPN$时，$\angle QPN=2×60^{\circ}=120^{\circ}$，因为$\angle QPN = 15t^{\circ}$，所以$15t = 120$，解得$t = 8$。
综上，（1）是；（2）$\frac{1}{3}\alpha$或$\frac{1}{2}\alpha$或$\frac{2}{3}\alpha$；（3）$t = 6$或$t = 8$。