《2025年暑假乐园辽宁师范大学出版社八年级理科版》

15. 【阅读材料】
求将直线$y = - 6x$向右平移$5$个单位长度后的解析式。
第一步，在直线$y = - 6x$上任取两点$A(0,0)$和$B(1,-6)$；
第二步，将点$A(0,0)$和$B(1,-6)$向右平移$5$个单位长度得到点$C(5,0)$和$D(6,-6)$，则直线$CD$就是直线$AB$向右平移$5$个单位长度后得到的直线；
第三步，设直线$CD$的解析式为$y = kx + b(k \neq 0)$，将$C(5,0)$和$D(6,-6)$代入，得$\begin{cases}5k + b = 0,\\6k + b = - 6,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = - 6,\\b = 30,\end{cases}$所以直线$y = - 6x$向右平移$5$个单位长度后的解析式为$y = - 6x + 30$。
【类比思考】
(1) 若将直线$y = - 6x$向左平移$5$个单位长度，则平移后的直线解析式为$ y = -6x - 30 $。
(2) 若将直线$y = - 6x$先向右平移$4$个单位长度，再向下平移$6$个单位长度，得到直线$l$，则直线$l$的解析式为$ y = -6x + 18 $。
【拓展应用】
(3) 已知一次函数的图象与直线$y = - 6x + 18$关于$x$轴对称，求一次函数的解析式。
解: 对于 $ y = -6x + 18 $, 当 $ y = 0 $ 时, $ x = 3 $, $ \therefore $ 直线 $ y = -6x + 18 $ 与 $ x $ 轴交于点 $ M(3,0) $. 当 $ x = 0 $ 时, $ y = 18 $, $ \therefore $ 直线 $ y = -6x + 18 $ 与 $ y $ 轴交于点 $ N(0,18) $. 点 $ M(3,0) $, $ N(0,18) $ 关于 $ x $ 轴的对称点的坐标分别为 $ M'(3,0) $ 和 $ N'(0,-18) $. 设直线 $ y = -6x + 18 $ 关于 $ x $ 轴对称的直线为 $ y = mx + n $, 将 $ M'(3,0) $, $ N'(0,-18) $ 分别代入, 得 $ \begin{cases} 3m + n = 0, \\ n = -18, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} m = 6, \\ n = -18. \end{cases} $ $ \therefore $ 一次函数的解析式为 $ y = 6x - 18 $.'
(4) 若一次函数$y = - 6x + 18$的图象绕点$P(3,0)$逆时针旋转$90^{\circ}$得到直线$d$，求直线$d$的解析式。
解: 设直线 $ d $ 的解析式为 $ y = ax + c $. $ \because y = -6x + 18 $ 的图象绕点 $ P(3,0) $ 逆时针旋转 $ 90^\circ $ 得到直线 $ d $, $ \therefore $ 点 $ P(3,0) $ 在直线 $ d $ 上. 将 $ P(3,0) $ 代入 $ y = ax + c $, 得 $ 3a + c = 0 $. 将 $ x = 0 $ 代入 $ y = ax + c $, 得 $ y = c $, $ \therefore y = ax + c $ 与 $ y $ 轴的交点坐标为 $ Q(0,c) $. 将 $ x = 0 $ 代入 $ y = -6x + 18 $, 得 $ y = 18 $. $ \therefore y = -6x + 18 $ 与 $ y $ 轴的交点坐标为 $ R(0,18) $. 在 $ \text{Rt} \triangle PQR $ 中, 由勾股定理, 得 $ PR^2 + PQ^2 = RQ^2 $, 即 $ 18^2 + 3^2 + c^2 + 3^2 = (18 - c)^2 $, 解得 $ c = -\frac{1}{2} $. $ \therefore a = -\frac{c}{3} = \frac{1}{6} $. $ \therefore $ 直线 $ d $ 的解析式为 $ y = \frac{1}{6}x - \frac{1}{2} $.

答案：
(1) $ y = -6x - 30 $
(2) $ y = -6x + 18 $
(3) 解: 对于 $ y = -6x + 18 $, 当 $ y = 0 $ 时, $ x = 3 $, $ \therefore $ 直线 $ y = -6x + 18 $ 与 $ x $ 轴交于点 $ M(3,0) $. 当 $ x = 0 $ 时, $ y = 18 $, $ \therefore $ 直线 $ y = -6x + 18 $ 与 $ y $ 轴交于点 $ N(0,18) $. 点 $ M(3,0) $, $ N(0,18) $ 关于 $ x $ 轴的对称点的坐标分别为 $ M'(3,0) $ 和 $ N'(0,-18) $. 设直线 $ y = -6x + 18 $ 关于 $ x $ 轴对称的直线为 $ y = mx + n $, 将 $ M'(3,0) $, $ N'(0,-18) $ 分别代入, 得 $ \begin{cases} 3m + n = 0, \\ n = -18, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} m = 6, \\ n = -18. \end{cases} $ $ \therefore $ 一次函数的解析式为 $ y = 6x - 18 $.
(4) 解: 设直线 $ d $ 的解析式为 $ y = ax + c $. $ \because y = -6x + 18 $ 的图象绕点 $ P(3,0) $ 逆时针旋转 $ 90^\circ $ 得到直线 $ d $, $ \therefore $ 点 $ P(3,0) $ 在直线 $ d $ 上. 将 $ P(3,0) $ 代入 $ y = ax + c $, 得 $ 3a + c = 0 $. 将 $ x = 0 $ 代入 $ y = ax + c $, 得 $ y = c $, $ \therefore y = ax + c $ 与 $ y $ 轴的交点坐标为 $ Q(0,c) $. 将 $ x = 0 $ 代入 $ y = -6x + 18 $, 得 $ y = 18 $. $ \therefore y = -6x + 18 $ 与 $ y $ 轴的交点坐标为 $ R(0,18) $. 在 $ \text{Rt} \triangle PQR $ 中, 由勾股定理, 得 $ PR^2 + PQ^2 = RQ^2 $, 即 $ 18^2 + 3^2 + c^2 + 3^2 = (18 - c)^2 $, 解得 $ c = -\frac{1}{2} $. $ \therefore a = -\frac{c}{3} = \frac{1}{6} $. $ \therefore $ 直线 $ d $ 的解析式为 $ y = \frac{1}{6}x - \frac{1}{2} $.