《2025年暑假乐园辽宁师范大学出版社八年级理科版》

16. 在 $□ ABCD$ 中，$\angle BAD = 45^{\circ}$，$\angle ABD = 90^{\circ}$，点 $E$ 为 $BC$ 边上一点，连接 $DE$.
【问题提出】
（1）如图 1，若点 $E$ 为 $BC$ 的中点，连接 $AE$，则 $\frac{AE}{DE}=$________.
【问题探究】
（2）如图 2，过点 $E$ 作 $EF\perp DE$，交射线 $AB$ 于点 $F$，求证：$DE = EF$.
【拓展应用】
（3）如图 3，连接 $AC$，以 $AC$，$AB$ 为邻边作 $□ ABMC$，延长 $DE$ 与 $BM$ 交于点 $F$，连接 $CF$，且 $CF\perp BM$，探究线段 $BF$，$CF$，$MF$ 的数量关系，并证明你的结论.

答案：

(1) $ \sqrt{5} $
(2) 证明：如图 1，过点 $E$ 作 $EG \perp BC$，交 $BD$ 的延长线于点 $G$。

∵ $ \angle ABD = 90^{\circ} $，$ \angle BAD = 45^{\circ} $，
∴ $ \angle ADB = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} $。
∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $AD // BC$。
∴ $ \angle A = \angle EBF = 45^{\circ} $，$ \angle DBC = \angle ADB = 45^{\circ} $。
∵ $GE \perp BC$，
∴ $ \angle GEB = 90^{\circ} $。
∴ $ \angle G = 45^{\circ} = \angle GBE$。
∴ $EG = EB$。
∵ $DE \perp EF$，
∴ $ \angle DEF = 90^{\circ} $。
∴ $ \angle GED = \angle BEF$。
∵ $ \angle G = \angle EBF = 45^{\circ} $，
∴ $ \triangle GED \cong \triangle BEF$。
∴ $DE = EF$。
(3) 解：$BF = CF + MF$。证明如下：如图 2，过点 $D$ 作 $DG \perp DF$，交 $FC$ 的延长线于点 $G$，作 $DN \perp FG$ 于点 $N$。

∵ 四边形 $ABCD$ 和四边形 $ABMC$ 都是平行四边形，
∴ $AB = CD$，$AB = CM$，$AB // CD$，$AB // CM$。
∴ $CD = CM$，点 $D$，$C$，$M$ 在同一直线上，$ \angle BDC = \angle ABD = 90^{\circ} $。
∵ $ \angle CFM = \angle DNC = 90^{\circ} $，$ \angle MCF = \angle DCN$，$CM = CD$，
∴ $ \triangle CFM \cong \triangle CND$。
∴ $FM = DN$，$CF = CN$。
∵ $DG \perp DF$，
∴ $ \angle GDF = 90^{\circ} $。又
∵ $ \angle BDC = 90^{\circ} $，
∴ $ \angle BDF = \angle CDG$。
∵ $ \angle ABD = 90^{\circ} $，$ \angle BAD = 45^{\circ} $，
∴ $ \angle ADB = 45^{\circ} = \angle BAD$。
∴ $AB = BD = CD$。
∵ $ \angle BDC = 90^{\circ} $，$ \angle BFC = 90^{\circ} $，
∴ $ \angle DBF + \angle DCF = 180^{\circ} $。
∵ $ \angle DCF + \angle DCG = 180^{\circ} $，
∴ $ \angle DBF = \angle DCG$。
∴ $ \triangle DBF \cong \triangle DCG$。
∴ $BF = CG$，$DF = DG$。
∴ $ \triangle DFG$ 是等腰直角三角形。
∴ $ \angle G = 45^{\circ} $。
∵ $DN \perp FG$，
∴ $ \angle DNG = 90^{\circ} $，
∴ $ \angle GDN = 45^{\circ} $。
∴ $DN = NG = MF$。
∵ $CG = CN + NG = CF + MF$，
∴ $BF = CF + MF$。