《2025年暑假乐园辽宁师范大学出版社八年级理科版》

20. 如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 AB，BC 上，且$AE=BF$. 连接 DE，AF 交于点 G.
(1) 求证：$DE⊥AF$.
(2) 若点 E，F 分别为边 AB，BC 的中点，正方形 ABCD 的边长为$2\sqrt {5}$，过点 B 作$BH⊥AF$于点 H，求线段 GH 的长.
(1) 证明：已知四边形$ABCD$是正方形，则$AD = AB$，$\angle DAE=\angle ABF = 90^{\circ}$。又因为$AE = BF$，根据全等三角形判定定理（$SAS$），可得$\triangle DAE\cong\triangle ABF$。由全等三角形的性质可知$\angle ADE=\angle BAF$。因为$\angle BAF+\angle DAG = 90^{\circ}$，所以$\angle ADE+\angle DAG = 90^{\circ}$。在$\triangle AGD$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle AGD=180^{\circ}-(\angle ADE + \angle DAG)=90^{\circ}$，即$DE\perp AF$。
(2) 1

答案： 【解析】：
### $(1)$ 证明$DE\perp AF$
- 已知四边形$ABCD$是正方形，则$AD = AB$，$\angle DAE=\angle ABF = 90^{\circ}$。
- 又因为$AE = BF$，根据全等三角形判定定理（$SAS$：两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形），可得$\triangle DAE\cong\triangle ABF$。
- 由全等三角形的性质可知$\angle ADE=\angle BAF$。
- 因为$\angle BAF+\angle DAG = 90^{\circ}$，所以$\angle ADE+\angle DAG = 90^{\circ}$。
- 在$\triangle AGD$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle AGD=180^{\circ}-(\angle ADE + \angle DAG)=90^{\circ}$，即$DE\perp AF$。
### $(2)$ 求线段$GH$的长
- 因为点$E$，$F$分别为边$AB$，$BC$的中点，正方形$ABCD$的边长为$2\sqrt{5}$，所以$AE = BF=\sqrt{5}$，$AB = 2\sqrt{5}$。
- 在$Rt\triangle ABF$中，根据勾股定理$AF=\sqrt{AB^{2}+BF^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{5})^{2}+(\sqrt{5})^{2}}=\sqrt{20 + 5}=5$。
- 由$(1)$知$\triangle DAE\cong\triangle ABF$，所以$S_{\triangle ABF}=S_{\triangle DAE}$，且$S_{\triangle ABF}=\frac{1}{2}AB\cdot BF=\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×\sqrt{5}=5$。
- 又因为$S_{\triangle ABF}=\frac{1}{2}AF\cdot BH$，即$5=\frac{1}{2}×5× BH$，解得$BH = 2$。
- 在$Rt\triangle ABH$中，根据勾股定理$AH=\sqrt{AB^{2}-BH^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{5})^{2}-2^{2}}=\sqrt{20 - 4}=4$。
- 因为$\angle AGB = 90^{\circ}$，$BH\perp AF$，所以$\triangle ABH\sim\triangle BGH$（两角分别相等的两个三角形相似）。
- 则$\frac{BH}{AH}=\frac{GH}{BH}$，即$GH=\frac{BH^{2}}{AH}=\frac{2^{2}}{4}=1$。
【答案】：
$(1)$ 证明过程如上述解析；$(2)$$\boldsymbol{1}$

21. 【类比学习】
一动点沿着数轴向右平移 3 个单位长度，再向左平移 2 个单位长度，相当于该点向右平移 1 个单位长度，用实数加法表示为$3+(-2)=1$.
若坐标平面内的点做如下平移：沿 x 轴平移的长度为 a(向右为正，向左为负，平移$|a|$个单位长度)，沿 y 轴平移的长度为 b(向上为正，向下为负，平移$|b|$个单位长度)，则把$\{ a,b\}$叫作这次平移的“平移量”. “平移量”$\{ a,b\}$与“平移量”$\{ c,d\}$的加法运算法则为$\{ a,b\} +\{ c,d\} =\{ a+c,b+d\}$.
【解决问题】
(1) 计算：①$\{ 3,1\} +\{ 1,2\}$；②$\{ 1,2\} +\{ 3,1\}$.
(2) ①动点 P 从坐标原点 O 出发，先按照“平移量”$\{ 3,1\}$平移到点 A 处，再按照“平移量”$\{ 1,2\}$平移到点 B 处. 若先把动点 P 按照“平移量”$\{ 1,2\}$平移到点 C 处，再按照“平移量”$\{ 3,1\}$平移，则点 P 最后的位置还是在点 B 处吗？在图中画出四边形 OABC.
②求证：四边形 OABC 是平行四边形.

答案：

(1)①{3,1}+{1,2}={4,3}
②{1,2}+{3,1}={4,3}
(2)①点P最后的位置仍在点B处.如图，四边形OABC即为所求作的图形.

②证明：由①知，A(3,1)，B(4,3)，C(1,2)，
∴OC=AB=√(1²+2²)=√5，OA=BC=√(3²+1²)=√10，
∴四边形OABC是平行四边形.