《2025年暑假乐园辽宁师范大学出版社八年级理科版》

21. 【问题初探】
(1) 在数学活动课上, 老师提出如下问题:
如何将代数式 $\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ 变形, 使该代数式分母中不含根号?
小明的做法: $\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{2} = \sqrt{3} - 1$.
小红的做法: $\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{3 - 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3})^{2} - 1^{2}}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)}{\sqrt{3} + 1} = \sqrt{3} - 1$.
老师对这两名同学的做法均给予了肯定, 并告诉同学们, 像这样, 把分母中的根号化去的步骤称为“分母有理化”.
请你从上面两名同学的方法中选择一种, 将式子 $\frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ 分母有理化.$\frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{2} = \sqrt{5} - \sqrt{3}$
【类比分析】
(2) “乐思” 活动小组的同学对老师提出的问题进一步探索并提出了下面新的问题, 请你解答.
已知: $x = \frac{\sqrt{5} - 2}{\sqrt{5} + 2},y = \frac{\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5} - 2}$, 求 $x^{2} - y^{2}$ 的值.$x = \frac{\sqrt{5} - 2}{\sqrt{5} + 2} = \frac{(\sqrt{5} - 2)^2}{(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2)} = 9 - 4\sqrt{5}$，$y = \frac{\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5} - 2} = \frac{(\sqrt{5} + 2)^2}{(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2)} = 9 + 4\sqrt{5}$。$\therefore x^2 - y^2 = (x + y)(x - y) = (9 - 4\sqrt{5} + 9 + 4\sqrt{5})(9 - 4\sqrt{5} - 9 - 4\sqrt{5}) = 18 × (-8\sqrt{5}) = -144\sqrt{5}$
【学以致用】
(3) 已知 $\frac{1}{1 + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{7}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n + 2}} = 13$, 请求出 $n$ 的值.$\because \frac{1}{\sqrt{3} + 1} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n + 2} + \sqrt{n}} = 13$，$\therefore \frac{1}{2}(\sqrt{3} - 1 + \sqrt{5} - \sqrt{3} + \sqrt{7} - \sqrt{5} + \cdots + \sqrt{n + 2} - \sqrt{n}) = 13$。$\therefore \sqrt{n + 2} = 27$，$\therefore n = 727$

答案：
(1) $\frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{2} = \sqrt{5} - \sqrt{3}$。
(2) $x = \frac{\sqrt{5} - 2}{\sqrt{5} + 2} = \frac{(\sqrt{5} - 2)^2}{(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2)} = 9 - 4\sqrt{5}$，$y = \frac{\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5} - 2} = \frac{(\sqrt{5} + 2)^2}{(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2)} = 9 + 4\sqrt{5}$。$\therefore x^2 - y^2 = (x + y)(x - y) = (9 - 4\sqrt{5} + 9 + 4\sqrt{5})(9 - 4\sqrt{5} - 9 - 4\sqrt{5}) = 18 × (-8\sqrt{5}) = -144\sqrt{5}$。
(3) $\because \frac{1}{\sqrt{3} + 1} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n + 2} + \sqrt{n}} = 13$，$\therefore \frac{1}{2}(\sqrt{3} - 1 + \sqrt{5} - \sqrt{3} + \sqrt{7} - \sqrt{5} + \cdots + \sqrt{n + 2} - \sqrt{n}) = 13$。$\therefore \sqrt{n + 2} = 27$，$\therefore n = 727$。