《2025年暑假乐园辽宁师范大学出版社八年级理科版》

13. 如图，一次函数$y = 2x + b$的图象与$x$轴，$y$轴分别交于$A$，$B$两点，且经过点$(1,3)$。
(1) 求$\triangle AOB$的面积。$\frac{1}{4}$
(2) 将该直线绕点$A$顺时针旋转$45^{\circ}$至直线$l$，过点$B$作$BC \perp AB$交直线$l$于点$C$，求点$C$的坐标$(1,\frac{1}{2})$及直线$l$的函数解析式$y = \frac{1}{3}x + \frac{1}{6}$。

答案： 解:
(1) $ \because $ 一次函数 $ y = 2x + b $ 的图象经过点 $ (1,3) $, $ \therefore 2 + b = 3 $, 解得 $ b = 1 $. $ \therefore y = 2x + 1 $. 令 $ y = 0 $, 得 $ x = -\frac{1}{2} $; 令 $ x = 0 $, 得 $ y = 1 $, $ \therefore A\left( -\frac{1}{2},0 \right) $, $ B(0,1) $, $ \therefore OA = \frac{1}{2} $, $ OB = 1 $. $ \therefore \triangle AOB $ 的面积为 $ \frac{1}{2} × \frac{1}{2} × 1 = \frac{1}{4} $.
(2) 过点 $ C $ 作 $ CD \perp y $ 轴于点 $ D $. $ \because \angle BAC = 45^\circ $, $ BC \perp AB $, $ \therefore \angle ACB = \angle BAC = 45^\circ $, $ \therefore AB = BC $. $ \because \angle ABO + \angle BAO = 90^\circ $, $ \angle ABO + \angle CBD = 90^\circ $, $ \therefore \angle BAO = \angle CBD $. 在 $ \triangle AOB $ 和 $ \triangle BDC $ 中, $ \begin{cases} \angle BAO = \angle CBD, \\ \angle AOB = \angle BDC = 90^\circ, \\ AB = BC, \end{cases} $ $ \therefore \triangle AOB \cong \triangle BDC(AAS) $, $ \therefore OA = DB = \frac{1}{2} $, $ OB = DC = 1 $, $ \therefore OD = OB - DB = \frac{1}{2} $, $ \therefore C\left( 1,\frac{1}{2} \right) $. 设直线 $ l $ 的解析式为 $ y = mx + n $. 把点 $ A\left( -\frac{1}{2},0 \right) $, $ C\left( 1,\frac{1}{2} \right) $ 代入, 得 $ \begin{cases} -\frac{1}{2}m + n = 0, \\ m + n = \frac{1}{2}, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} m = \frac{1}{3}, \\ n = \frac{1}{6}. \end{cases} $ $ \therefore $ 直线 $ l $ 的解析式为 $ y = \frac{1}{3}x + \frac{1}{6} $.