《2025年暑假乐园辽宁师范大学出版社八年级理科版》

14. 如图，在 $□ ABCD$ 中，过点 $D$ 作 $DE\perp AB$ 于点 $E$，点 $F$ 在 $CD$ 上，且 $CF = AE$，连接 $AF$，$BF$.
（1）求证：四边形 $BFDE$ 是矩形.
证明：∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，∴ $DC // AB$，$DC = AB$。∵ $CF = AE$，∴ $DF = BE$。又 ∵ $DF // BE$，∴ 四边形 $BFDE$ 是平行四边形。∵ $DE \perp AB$，∴ $ \angle DEB = 90^{\circ} $，∴ 四边形 $BFDE$ 是矩形。
（2）若 $CF = 3$，$DF = 5$，$AF$ 平分 $\angle DAB$，求 $BF$ 的长.
解：∵ $AB // CD$，∴ $ \angle DFA = \angle BAF$。∵ $AF$ 平分 $ \angle DAB$，∴ $ \angle DAF = \angle BAF$，∴ $ \angle DAF = \angle DFA$，∴ $AD = DF = 5$。又 ∵ $AE = CF = 3$，∴ 在 $ \text{Rt} \triangle ADE$ 中，由勾股定理，可得 $DE = \sqrt{AD^{2} - AE^{2}} = \sqrt{25 - 9} = 4$。∵ 四边形 $BFDE$ 是矩形，∴ $BF = DE = $4。

答案：
(1) 证明：
∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $DC // AB$，$DC = AB$。
∵ $CF = AE$，
∴ $DF = BE$。又
∵ $DF // BE$，
∴ 四边形 $BFDE$ 是平行四边形。
∵ $DE \perp AB$，
∴ $ \angle DEB = 90^{\circ} $，
∴ 四边形 $BFDE$ 是矩形。
(2) 解：
∵ $AB // CD$，
∴ $ \angle DFA = \angle BAF$。
∵ $AF$ 平分 $ \angle DAB$，
∴ $ \angle DAF = \angle BAF$，
∴ $ \angle DAF = \angle DFA$，
∴ $AD = DF = 5$。又
∵ $AE = CF = 3$，
∴ 在 $ \text{Rt} \triangle ADE$ 中，由勾股定理，可得 $DE = \sqrt{AD^{2} - AE^{2}} = \sqrt{25 - 9} = 4$。
∵ 四边形 $BFDE$ 是矩形，
∴ $BF = DE = 4$。

15. 如图 1，在正方形 $ABCD$ 中，点 $E$ 是对角线 $AC$ 上任意一点，连接 $DE$，$BE$.
（1）求证：$DE = BE$.
（2）当 $AE = AB$ 时，求 $\angle BED$ 的度数.135°
（3）如图 2，过点 $E$ 作 $EF\perp DE$ 交 $AB$ 于点 $F$，当 $BE = BF$ 时，若 $AB = \sqrt{6} + \sqrt{2}$，求 $AF$ 的长.$\sqrt{6} - \sqrt{2}$

答案：
(1) 证明：
∵ 四边形 $ABCD$ 是正方形，
∴ $AD = AB$，$ \angle DAE = \angle BAE$。又
∵ $AE = AE$，
∴ $ \triangle DAE \cong \triangle BAE (SAS)$，
∴ $DE = BE$。
(2) 解：
∵ 四边形 $ABCD$ 是正方形，
∴ $ \angle BAC = \angle DAC = 45^{\circ} $。
∵ $AE = AB$，
∴ $ \angle ABE = \angle AEB$。由
(1) 知，$ \triangle DAE \cong \triangle BAE$，
∴ $ \angle AED = \angle AEB = \frac{1}{2}(180^{\circ} - 45^{\circ}) = \frac{1}{2} × 135^{\circ} $，
∴ $ \angle BED = 2 \angle AEB = 135^{\circ} $。
(3) 解：过点 $E$ 作 $EM \perp BF$ 于点 $M$。
∵ $ \triangle DAE \cong \triangle BAE$，
∴ $ \angle ADE = \angle ABE$。
∵ $DE \perp EF$，
∴ $ \angle DEF = 90^{\circ} $。在四边形 $ADEF$ 中，$ \angle DAF = 90^{\circ} $，
∴ $ \angle ADE + \angle AFE = 180^{\circ} $。
∵ $ \angle AFE + \angle BFE = 180^{\circ} $，
∴ $ \angle BFE = \angle ADE = \angle EBF$，
∴ $BE = EF$。
∵ $BE = BF$，
∴ $ \triangle BEF$ 是等边三角形，
∴ $ \angle EBF = 60^{\circ} $。设 $BM = x$，则 $MF = BM = x$，$EM = \sqrt{3}x$。
∵ 四边形 $ABCD$ 是正方形，
∴ $ \angle BAE = \frac{1}{2} \angle BAD = 45^{\circ} $，
∴ $AM = EM = \sqrt{3}x$。
∵ $AM + BM = AB = \sqrt{6} + \sqrt{2} $，
∴ $ \sqrt{3}x + x = \sqrt{6} + \sqrt{2} $，解得 $x = \sqrt{2} $，
∴ $BF = 2x = 2\sqrt{2} $，
∴ $AF = AB - BF = \sqrt{6} + \sqrt{2} - 2\sqrt{2} = \sqrt{6} - \sqrt{2} $。