《2025年暑假乐园辽宁师范大学出版社八年级理科版》

12. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AD// BC$，点 $M$，$N$，$P$，$Q$ 分别为 $AD$，$BC$，$BD$，$AC$ 的中点.
求证：$MN$ 和 $PQ$ 互相平分.

证明：连接 $MP$，$MQ$，$NP$，$NQ$。∵ 点 $M$，$P$ 分别是 $AD$，$BD$ 的中点，∴ $MP$ 是 $\triangle ADB$ 的中位线，∴ $MP // AB$，$MP = \frac{1}{2}AB$。同理可得 $QN // AB$，$QN = \frac{1}{2}AB$。∴ $MP // QN$，$MP = QN$，∴ 四边形 $MPNQ$ 是平行四边形，∴ $MN$ 和 $PQ$ 互相平分。

答案： 证明：连接 $MP$，$MQ$，$NP$，$NQ$。
∵ 点 $M$，$P$ 分别是 $AD$，$BD$ 的中点，
∴ $MP$ 是 $ \triangle ADB$ 的中位线，
∴ $MP // AB$，$MP = \frac{1}{2}AB$。同理可得 $QN // AB$，$QN = \frac{1}{2}AB$。
∴ $MP // QN$，$MP = QN$，
∴ 四边形 $MPNQ$ 是平行四边形，
∴ $MN$ 和 $PQ$ 互相平分。

13. 如图，在菱形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，过点 $D$ 作对角线 $BD$ 的垂线交 $BA$ 的延长线于点 $E$.
（1）求证：四边形 $ACDE$ 是平行四边形.
（2）若 $AC = 8$，$BD = 6$，求 $\triangle ADE$ 的周长.

（1）证明：∵ 四边形 $ABCD$ 是菱形，∴ $AB // CD$，$AC \perp BD$，∴ $ \angle AOB = 90^{\circ} $，$AE // CD$。又 ∵ $DE \perp BD$，即 $ \angle EDB = 90^{\circ} $，∴ $ \angle AOB = \angle EDB$，∴ $DE // AC$，∴ 四边形 $ACDE$ 是平行四边形。
（2）解：∵ 四边形 $ABCD$ 是菱形，∴ $AO \perp DO$，$AD = CD$。又 ∵ $AC = 8$，$BD = 6$，∴ $AO = 4$，$DO = 3$，∴ $AD = CD = 5$。∵ 四边形 $ACDE$ 是平行四边形，∴ $AE = CD = 5$，$DE = AC = 8$，∴ $ \triangle ADE$ 的周长为 $AD + AE + DE = 5 + 5 + 8 = $18.

答案：
(1) 证明：
∵ 四边形 $ABCD$ 是菱形，
∴ $AB // CD$，$AC \perp BD$，
∴ $ \angle AOB = 90^{\circ} $，$AE // CD$。又
∵ $DE \perp BD$，即 $ \angle EDB = 90^{\circ} $，
∴ $ \angle AOB = \angle EDB$，
∴ $DE // AC$，
∴ 四边形 $ACDE$ 是平行四边形。
(2) 解：
∵ 四边形 $ABCD$ 是菱形，
∴ $AO \perp DO$，$AD = CD$。又
∵ $AC = 8$，$BD = 6$，
∴ $AO = 4$，$DO = 3$，
∴ $AD = CD = 5$。
∵ 四边形 $ACDE$ 是平行四边形，
∴ $AE = CD = 5$，$DE = AC = 8$，
∴ $ \triangle ADE$ 的周长为 $AD + AE + DE = 5 + 5 + 8 = 18$。