《2025年暑假乐园辽宁师范大学出版社八年级理科版》

14. 阅读下面材料：
把一次函数$y = kx + b$（$k$，$b$为常数，$k \neq 0$）在$x$轴下方的图象沿$x$轴向上翻折，与原来在$x$轴上方的图象组合，得到一个新的图象，我们称之为一次函数的“V”形图象。如图1所示的图象就是函数$y = x$的“V”形图象。
【实践探究】
(1) 请在图2中画出一次函数$y = x + 1$的“V”形图象，并直接写出该图象与$x$轴的交点$A$的坐标：________。
(2) 在(1)的条件下，若直线$y = - \frac{1}{3}x + 1$与一次函数$y = x + 1$的“V”形图象相交于$B$，$C$两点，求$\triangle ABC$的面积。
【问题解决】
(3) 已知一次函数$y = kx - 5k + 4$（$k$为常数，且$k \neq 0$）的“V”形图象经过$(-1,y_{1})$，$(3,y_{2})$两点，且$y_{1} ＞ y_{2}$，求$k$的取值范围。

答案：

(1) 
 $ (-1,0) $
(2) 解: 由 $ \begin{cases} y = -x - 1, \\ y = -\frac{1}{3}x + 1, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} x = -3, \\ y = 2. \end{cases} $ 由 $ \begin{cases} y = x + 1, \\ y = -\frac{1}{3}x + 1, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} x = 0, \\ y = 1. \end{cases} $ 设 $ B(-3,2) $, 则 $ C(0,1) $. 由
(1) 得 $ A(-1,0) $, $ \therefore \triangle ABC $ 的面积为 $ 2 × 3 - \frac{1}{2} × 1 × 1 - \frac{1}{2} × 2 × 2 - \frac{1}{2} × 3 × 1 = 2 $.
(3) 解: $ \because $ 对于一次函数 $ y = kx - 5k + 4 $ ( $ k $ 为常数, 且 $ k \neq 0 $ ), 当 $ x = 5 $ 时, $ y = 4 $, $ \therefore $ 该函数图象经过定点 $ (5,4) $. $ \because $ 当 $ y = 0 $ 时, $ x = \frac{5k - 4}{k} $, $ \therefore $ 该函数图象与 $ x $ 轴的交点为 $ \left( \frac{5k - 4}{k},0 \right) $.
① 当 $ k ＞ 0 $ 时, 由图象可知, 若 $ y_1 ＞ y_2 $, 则 $ \frac{5k - 4}{k} ＞ 1 $, 解得 $ k ＞ 1 $.
② 当 $ k ＜ 0 $ 时, 由图象可知, 始终有 $ y_1 ＞ y_2 $.
综上所述, $ k $ 的取值范围为 $ k ＞ 1 $ 或 $ k ＜ 0 $.