《2025年暑假乐园辽宁师范大学出版社八年级理科版》

18. 如图，在▱ABCD中，点 E 在边 BC 上，点 F 在边 AD 的延长线上，且$DF=BE$，EF 与 CD 交于点 G.
(1) 求证：$BD// EF$.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，∴DF//BE.又∵DF=BE，
∴四边形DBEF为平行四边形，∴BD//EF.
(2) 若点 G 是 DC 的中点，$BE=4$，求 BC 的长.
解：∵AD//BC，∴∠F=∠GEC.∵点G是DC的中点，∴DG=CG.又∵∠DGF=∠CGE，∴△DFG≌△CEG(AAS)，
∴DF=EC. ∵DF=BE=4，∴EC=BE=4，
∴BC=BE+EC=8.

答案：
(1)证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴DF//BE.又
∵DF=BE，
∴四边形DBEF为平行四边形，
∴BD//EF.
(2)解：
∵AD//BC，
∴∠F=∠GEC.
∵点G是DC的中点，
∴DG=CG.又
∵∠DGF=∠CGE，
∴△DFG≌△CEG(AAS)，
∴DF=EC.
∵DF=BE=4，
∴EC=BE=4，
∴BC=BE+EC=8.

19. 如图，在四边形 ABCD 中，$AD// BC$，$AB=CD$，M，N 分别是 AD，BC 的中点，E，F 分别是 BM，CM 的中点.
(1) 求证：$\triangle ABM\cong \triangle DCM$.
(2) 四边形 MENF 是什么图形？请证明你的结论.菱形
(3) 若四边形 MENF 是正方形，则 AD 和 BC 之间的距离与 BC 有何数量关系？请说明理由.AD和BC之间的距离等于BC的一半

答案：
(1)略
(2)菱形，证明略.
(3)AD和BC之间的距离等于BC的一半，理由略.