《2025年暑假乐园辽宁师范大学出版社八年级理科版》

14. 如图，方格中小正方形的边长为$1$，$\triangle A B C$的三个顶点都在格点（网格线的交点）上。
（1）请判断$\triangle A B C$是否为直角三角形，并说明理由。
$\triangle ABC$是直角三角形，理由：$AB=\sqrt{5}$，$BC = 2\sqrt{5}$，$AC = 5$，满足$AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$
（2）求$\triangle A B C$的面积。
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答案： 1. （1）
首先，根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（其中$a$、$b$为直角边，$c$为斜边）计算$AB$、$BC$、$AC$的长度：
由勾股定理可得$AB=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{1 + 4}=\sqrt{5}$；
$BC=\sqrt{2^{2}+4^{2}}=\sqrt{4 + 16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$；
$AC=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9 + 16}=\sqrt{25}=5$。
然后，验证勾股定理的逆定理：
计算$AB^{2}+BC^{2}$的值：$AB^{2}+BC^{2}=(\sqrt{5})^{2}+(2\sqrt{5})^{2}=5 + 20=25$。
又因为$AC^{2}=25$，所以$AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$。
根据勾股定理的逆定理（若$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，则以$a$、$b$、$c$为边的三角形是直角三角形，其中$c$为斜边），可知$\triangle ABC$是直角三角形。
2. （2）
解：根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ab$（$a$、$b$为直角边），
已知$AB=\sqrt{5}$，$BC = 2\sqrt{5}$，
则$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× AB× BC$。
把$AB=\sqrt{5}$，$BC = 2\sqrt{5}$代入可得：$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×\sqrt{5}×2\sqrt{5}$。
根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a\geq0,b\geq0)$，则$\frac{1}{2}×\sqrt{5}×2\sqrt{5}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{5×5}$。
计算得$S_{\triangle ABC}=5$。
综上，（1）$\triangle ABC$是直角三角形，理由：$AB=\sqrt{5}$，$BC = 2\sqrt{5}$，$AC = 5$，满足$AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$；（2）$\triangle ABC$的面积为$5$。

15. 如图，在$\triangle A B C$中，$A B = B C$，$B E \perp A C$于点$E$，$A D \perp B C$于点$D$，$\angle B A D = 45 ^ { \circ }$，$A D$与$B E$交于点$F$，连接$C F$。
（1）求证：$B F = 2 A E$。
（2）若$C D = \sqrt { 2 }$，求$A D$的长。

（1）证明:∵AD⊥BC,∠BAD=45°,∴∠ABD=∠BAD=45°.∴AD=BD.∵AD⊥BC,BE⊥AC,∴∠CAD+∠ACD=90°,∠CBE+∠ACD=90°,∴∠CAD=∠CBE.又∵∠CDA=∠FDB=90°,∴△ADC≌△BDF;∴AC=BF.∵AB=BC,BE⊥AC,∴AE=EC,即AC=2AE,∴BF=2AE.
（2）解:∵△ADC≌△BDF,∴FD=CD=$\sqrt{2}$.∴在Rt△CDF中,CF=$\sqrt{FD²+CD²}$=2.∵BE⊥AC,AE=EC,∴AF=FC=2,∴AD=AF+FD=2+$\sqrt{2}$.

答案：
(1)证明:
∵AD⊥BC,∠BAD=45°,
∴∠ABD=∠BAD=45°.
∴AD=BD.
∵AD⊥
BC,BE⊥AC,
∴∠CAD+∠ACD=90°,∠CBE+∠ACD=90°,
∴∠CAD=∠CBE.又
∵∠CDA=∠FDB=90°,
∴△ADC≌△BDF;
∴AC=BF.
∵AB=BC,BE⊥AC,
∴AE=EC,即AC=2AE,
∴BF=2AE.
(2)解:
∵△ADC≌△BDF,
∴FD=CD=$\sqrt{2}$
∴在Rt△CDF中,CF=$\sqrt{FD²+CD²}$=2.
∵BE⊥AC,AE=EC,
∴AF=FC=2,
∴AD=
AF+FD=2+$\sqrt{2}$

16. 【问题提出】
问题一：平面直角坐标系中，如果$A$，$B$是$x$轴上的两点，它们对应的横坐标分别是$x _ { A }$，$x _ { B }$，$C$，$D$是$y$轴上的两点，它们对应的纵坐标分别是$y _ { C }$，$y _ { D }$，那么$A$，$B$两点间的距离，$C$，$D$两点间的距离分别是多少？
问题二：平面直角坐标系中任意一点$P ( x , y )$到原点的距离是多少？
问题三：已知平面内的两点$P _ { 1 } ( x _ { 1 } , y _ { 1 } )$，$P _ { 2 } ( x _ { 2 } , y _ { 2 } )$，如何求点$P _ { 1 }$，$P _ { 2 }$间的距离$| P _ { 1 } P _ { 2 } |$？
【问题探究】
（1）求平面直角坐标系中同一坐标轴上两点之间的距离，可以借助绝对值来解决：$x$轴上的两点$E ( 5 , 0 )$，$F ( - 2 , 0 )$之间的距离$| E F | = | 5 - ( - 2 ) | = 7$，$y$轴上的两点$M ( 0 , 3 )$，$N ( 0 , 5 )$之间的距离$| M N | = | 3 - 5 | = 2$。
结论：在平面直角坐标系中，如果$A$，$B$是$x$轴上两点，它们的横坐标分别是$x _ { A }$，$x _ { B }$，那么$A$，$B$两点间的距离$| A B | =$______；如果$C$，$D$是$y$轴上的两点，它们的纵坐标分别是$y _ { C }$，$y _ { D }$，那么$C$，$D$两点间的距离$| C D | =$______。
（2）如图1，在平面直角坐标系中，点$B$的坐标为$( 3 , 4 )$，过点$B$向$x$轴作垂线，垂足为点$M$，由勾股定理得$| O B | =$______。
结论：平面直角坐标系中任意一点$P ( x , y )$到原点的距离$| O P | =$______。
（3）如图2，要求线段$D E$的长，可以转化为求$\mathrm { Rt } \triangle D E F$的斜边长，从坐标系中可以得出$D ( - 7 , 5 )$，$E ( 4 , - 3 )$，所以$| D F | = | 5 - ( - 3 ) | = 8$，$| E F | = | 4 - ( - 7 ) | = 11$，所以由勾股定理得$| D E | = \sqrt { 8 ^ { 2 } + 11 ^ { 2 } } = \sqrt { 185 }$。
请用上面的方法求图2中线段$A B$的长：$| A B | =$______。
在图3中，设$P _ { 1 } ( x _ { 1 } , y _ { 1 } )$，$P _ { 2 } ( x _ { 2 } , y _ { 2 } )$，试用含$x _ { 1 }$，$x _ { 2 }$，$y _ { 1 }$，$y _ { 2 }$的式子表示$P _ { 1 } P _ { 2 }$的长：$| P _ { 1 } P _ { 2 } | =$______。
【拓展应用】
试用以上结论解答下列问题：
已知平面直角坐标系中点$G ( 0 , 1 )$，$H ( 4 , 3 )$。
（4）若直线$G H$与$x$轴交于点$K$，求线段$H K$的长。
（5）若$T$为坐标轴上的点，且使得$\triangle G H T$是以$G H$为底边的等腰三角形，则点$T$的坐标为______（直接写出结果）。

答案：

(1)|xA - xB|　|yC - yD|
(2)5　　$\sqrt{x²+y²}$
(3)5　　$\sqrt{(x_1 - x_2)²+(y_1 - y_2)²}$
(4)如图,由图象可知K(−2,0).
∵H(4,3),
∴|HK|=$\sqrt{6²+3²}$=3$\sqrt{5}$
　
(5)(3,0)或(0,6)