《2025年暑假乐园辽宁师范大学出版社八年级理科版》

17. 在创建国家卫生城市环境综合整治行动中,某小区计划对楼体外墙进行粉刷,现有甲、乙两家装修公司有意承接此项工程,已知甲公司收取的费用$y_{甲}$(元)与粉刷面积$x(m^{2})$的关系如下表所示:
| 粉刷面积$x/m^{2}$ | … | 100 | 200 | 300 | 400 | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 费用$y_{甲}/$元 | … | 2000 | 4000 | 6000 | 8000 | … |
乙公司表示:若该小区先支付2000元的基本承包费,则可按$10元/m^{2}$的价格收费.
请根据以上信息,解答下列问题:
(1) 若甲公司收取的费用$y_{甲}$(元)与粉刷面积$x(m^{2})$满足我们学过的某种函数关系,试确定$y_{甲}$与$x$的函数关系式.
(2) 试确定乙公司收取的费用$y_{乙}$(元)与粉刷面积$x(m^{2})$满足的函数关系式.
(3) 在下面平面直角坐标系中画出(1)(2)中的函数图象,并确定:若该小区粉刷面积约为$600m^{2}$,则选择哪家装修公司更合算?

答案：
解：
(1) 由表中数据可知，甲公司收取的费用 $ y_{甲} $（元）与粉刷面积 $ x(m^2) $ 成正比例关系。设 $ y_{甲} = kx $，把 $ (100, 2000) $ 代入，得 $ 2000 = 100k $，解得 $ k = 20 $。$ \therefore y_{甲} = 20x $。
(2) 根据题意，得 $ y_{乙} = 2000 + 10x $。
(3) 
把 $ x = 600 $ 代入 $ y_{甲} = 20x $，得 $ y_{甲} = 20 × 600 = 12000 $。把 $ x = 600 $ 代入 $ y_{乙} = 2000 + 10x $，得 $ y_{乙} = 2000 + 10 × 600 = 8000 $。$ \because 12000 ＞ 8000 $，$ \therefore $ 若该小区粉刷面积约为 $ 600 m^2 $，则选择乙装修公司更合算。