《2025年一遍过七年级数学上册北师大版》

7 [2024威海文登区期末]一个底面半径为10 cm、高为30 cm的圆柱形大杯中存满了水,把水倒入底面直径为10 cm的圆柱形小杯中,刚好倒满12杯,则小杯的高为( )

A.6 cm
B.8 cm
C.10 cm
D.12 cm

答案： C 设小杯的高为xcm,根据题意,得$\pi×10^{2}×30=\pi×(10÷2)^{2}× x×12$,解得x=10,所以小杯的高为10cm。

8 一题多解 [2025重庆期末]如图,在长方形ABCD中,将三个完全相同的小长方形,按照“横—竖—横”的顺序排列,若$AB= 6cm,BC= 8cm$,则图中一个小长方形的周长为____cm。

答案： $\frac{28}{3}$ 秒解 设图中一个小长方形的周长为ycm,根据题意,得3y=2×(8+6),解得$y=\frac{28}{3}$,所以图中一个小长方形的周长为$\frac{28}{3}$cm。另解 设小长方形的长为xcm,则小长方形的宽为(8-2x)cm。根据题意,得x+2(8-2x)=6,解得$x=\frac{10}{3}$,则2[x+(8-2x)]=2×[$\frac{10}{3}$+(8-2×$\frac{10}{3}$)]=$\frac{28}{3}$,所以图中一个小长方形的周长为$\frac{28}{3}$cm。

9 教材P154T4变式 [2024保定期末]如图,将一张正方形纸片剪去一个宽为3 cm的长方形纸条,再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为1 cm的长方形纸条。
(1)如果第一次剪下的长方形纸条的周长恰好是第二次剪下的长方形纸条的周长的2倍,求原正方形纸片的边长。
(2)第一次剪下的长方形纸条的面积可不可能是第二次剪下的长方形纸条的面积的3倍?并说明理由。(用方程的知识解释)

答案： 解:
(1)设原正方形纸片的边长为xcm,根据题意,得2(x+3)=2×2(x-3+1),解得x=7。答:原正方形纸片的边长为7cm。
(2)不可能。理由如下:设原正方形纸片的边长为ycm,若第一次剪下的长方形纸条的面积是第二次剪下的长方形纸条面积的3倍,则3y=3×1×(y-3),整理,得3y=3y-9,此方程无解,所以第一次剪下的长方形纸条的面积不可能是第二次剪下的长方形纸条面积的3倍。

10 模型观念 [2025平顶山期末]【综合与实践】小明准备了一个长方体无盖容器和足够多的A,B,C三种型号的钢球,他先往容器里注入一定量的水(如图),使水在容器内的高度为30 mm(水足以淹没所有的钢球,探究过程中钢球表面的水忽略不计),然后在容器中放入钢球。试验发现,每放入1个A型号钢球,水面上升1 mm;每放入1个B型号钢球,水面上升2 mm;每放入1个C型号钢球,水面上升3 mm。在试验过程中,容器内只同时放入两种型号的钢球。
【试验一】
(1)小明先放入A型号钢球8个,又放入B型号钢球若干个,此时容器内的水正好没有溢出来,求容器内B型号钢球的个数。
【试验二】
(2)小明先把之前的钢球全部捞出,再放入B型号和其他型号的钢球共10个后,水面升高到56 mm,求此时容器内不同型号的钢球分别有多少个。

答案： 解:
(1)设容器内B型号钢球的个数为x,根据题意,得8×1+2x=60-30,解得x=11,答:容器内B型号钢球的个数为11。
(2)分两种情况:①当容器内的钢球为A型号钢球和B型号钢球时,设此时容器内有A型号钢球m个,则有B型号钢球(10-m)个,根据题意,得m+2(10-m)=56-30,解得m=-6(不合题意,舍去)。②当容器内的钢球为B型号钢球和C型号钢球时,设此时容器内有B型号钢球n个,则有C型号钢球(10-n)个,根据题意,得2n+3(10-n)=56-30,解得n=4,10-4=6(个)。综上,此时容器内有B型号钢球4个和C型号钢球6个。