《2025年一遍过七年级数学上册北师大版》

10 新考法[2024长春南关区期末]一副三角尺按如图所示位置放置,OP为公共边,量角器中心与点O重合,OA为$0^{\circ }$刻度线。如果边OB与$90^{\circ }$刻度线在一条直线上,那么下列刻度线与边OC在一条直线上的是 ( )

A.$15^{\circ }$刻度线
B.$30^{\circ }$刻度线
C.$45^{\circ }$刻度线
D.$75^{\circ }$刻度线

答案： A 由题图可知∠BOP=30°,∠POC=45°,∠BOA=90°,所以∠AOC=∠BOA-∠BOP-∠POC=90°-30°-45°=15°,所以15°刻度线与边OC在一条直线上。

11 易错题如图,$∠AOB=100^{\circ },∠BOC=30^{\circ }$,小明想过点O引一条射线OD,使$∠AOD:∠BOD=1:3$($∠AOD$与$∠BOD$都小于平角),那么$∠COD$的度数是 ( )

A.$45^{\circ }$
B.$45^{\circ }$或$105^{\circ }$
C.$120^{\circ }$
D.$45^{\circ }$或$120^{\circ }$

答案： D 当OD在∠AOB的内部时,由∠AOD:∠BOD=1:3,得∠AOD=$\frac{100^\circ}{4}$=25°,所以∠COD=∠AOB-∠BOC-∠AOD=100°-30°-25°=45°;当OD在∠AOB的外部时,由∠AOD:∠BOD=1:3,得∠AOD=$\frac{100^\circ}{2}$=50°,所以∠BOD=∠AOB+∠AOD=150°,所以∠COD=∠BOD-∠BOC=150°-30°=120°。综上,∠COD的度数是45°或120°。

12 [2024渭南期末]如图,OM平分$∠AOB$,ON平分$∠AOC,∠AOB=40^{\circ },∠MON=50^{\circ }$,则$∠BOC=$____$^{\circ }$。

答案： 100 因为OM平分∠AOB,ON平分∠AOC,所以∠BOM=$\frac{1}{2}$∠AOB=20°,∠CON=∠AON。因为∠MON=50°,所以∠BON=∠MON-∠BOM=50°-20°=30°。因为∠AOB=40°,所以∠AON=∠CON=∠AOB+∠BON=70°,所以∠BOC=∠BON+∠CON=100°。

13 教材P127T9变式如图,OM,ON分别是$∠BOC$和$∠AOC$的平分线,$∠AOB=84^{\circ }$。
(1)$∠MON=$____;
(2)当OC在$∠AOB$内部绕点O转动时,$∠MON$的度数____改变。(填“会”或“不会”)

答案：
(1)42°;
(2)不会
(1)因为OM,ON分别是∠BOC和∠AOC的平分线,所以∠COM=$\frac{1}{2}$∠BOC,∠NOC=$\frac{1}{2}$∠AOC,又因为∠AOB=84°,所以∠MON=∠NOC+∠COM=$\frac{1}{2}$(∠AOC+∠BOC)=$\frac{1}{2}$×84°=42°。
(2)由
(1)知∠MON=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×84°=42°,是定值,与OC的位置无关。

14 [2024黔东南州期中]如图,已知轮船A在灯塔P的北偏东$30^{\circ }$的方向上,轮船B在灯塔P的南偏东$70^{\circ }$的方向上。
(1)求从灯塔P看两轮船的视角(即$∠APB$)的度数;
(2)若轮船C在$∠APB$的平分线上,则轮船C在灯塔P的什么方向?

答案： 解:
(1)由题意可知∠APN=30°,∠BPS=70°,所以∠APB=180°-∠APN-∠BPS=80°。
(2)因为PC平分∠APB,且∠APB=80°,所以∠APC=$\frac{1}{2}$∠APB=40°,所以∠NPC=∠APN+∠APC=70°,所以轮船C在灯塔P的北偏东70°的方向上。

15 推理能力[2024天津和平区期末]
(1)如图1,将两个直角三角尺的直角顶点重合在一起。
①若$∠DCE=35^{\circ }$,则$∠ACB=$____;若$∠ACB=140^{\circ }$,则$∠DCE=$____。
②猜想$∠ACB$与$∠DCE$的数量关系,并说明理由。
(2)如图2,若两个同样的三角尺的$60^{\circ }$角的顶点重合在一起,则$∠DAB$与$∠CAE$有怎样的数量关系?请说明理由。
(3)已知$∠AOB=α,∠COD=β$(α,β都是锐角),如图3,若把它们的顶点O重合在一起,请直接写出$∠AOD$与$∠BOC$的数量关系,不必说明理由。

答案： 解:
(1)①145° 40° 因为∠ACE+∠DCE=90°=∠BCD+∠DCE,∠DCE=35°,所以∠ACB=∠ACD+∠ECB-∠DCE=90°+90°-35°=145°。若∠ACB=140°,则∠DCE=90°+90°-140°=40°。②∠ACB+∠DCE=180°。理由如下:因为∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°+∠BCD,所以∠ACB+∠DCE=90°+∠BCD+∠DCE=90°+∠BCE=180°。
(2)∠DAB+∠CAE=120°。理由如下:因为∠DAB=∠DAC+∠CAB=60°+∠CAB,所以∠DAB+∠CAE=60°+∠CAB+∠CAE=60°+∠EAB=120°。
(3)∠AOD+∠BOC=α+β。因为∠AOD=∠AOB+∠BOD,∠BOD=∠COD-∠BOC,所以∠AOD=∠AOB+∠COD-∠BOC,即∠AOD=α+β-∠BOC,所以∠AOD+∠BOC=α+β。