《2025年一遍过七年级数学上册北师大版》

7 天星原创 嘉琪在计算一个多项式A减去多项式B的差时,因一时疏忽忘了将多项式B用括号括起来,因此多项式B中第一项后面的各项均没有变号,计算得到的结果是$6x^{2}y+2xy+5$。已知$B= 3x^{2}y-5xy+x+7$。
(1)求多项式A;
(2)求$A-B$的正确结果;
(3)当$x= -1,y= 2$时,求$A-B$的值。

答案： 【解析】：
本题主要考查整式的加减运算，以及代数式的代入求值。
(1) 根据题意，嘉琪在计算$A-B$时，没有将$B$中的各项变号，所以实际上他计算的是$A-B$的第一项加上$B$的后三项（但符号不变）等于$6x^{2}y+2xy+5$。
即 $A - (3x^{2}y - 5xy + x + 7)$ 变为 $A - 3x^{2}y + 5xy - x - 7 = 6x^{2}y + 2xy + 5$（这是错误的计算方式）。
为了求出$A$，我们可以将上式改写为：
$A = (6x^{2}y + 2xy + 5) + (3x^{2}y - 5xy + x + 7)$
$= 9x^{2}y - 3xy + x + 12$
(2) 已知$A$和$B$，我们可以计算$A-B$：
$A - B = (9x^{2}y - 3xy + x + 12) - (3x^{2}y - 5xy + x + 7)$
$= 6x^{2}y + 2xy + 5$ （注意，这里的5是常数项相减的结果）
但需要注意，上面的计算过程中，我们实际上已经知道了错误计算的结果，并利用它来求$A$。
而正确的$A-B$应该是：
$A - B = (9x^{2}y - 3xy + x + 12) - 3x^{2}y + 5xy - x - 7$
$= 6x^{2}y + 2xy + 5$ （与上面的结果相同，但此处的推导是正确的）
更简洁的写法为：
$A - B = 6x^{2}y + 2xy + 5$
(3) 当$x = -1, y = 2$时，代入$A-B$的表达式中计算：
$A - B = 6×(-1)^{2}×2 + 2×(-1)×2 + 5$
$= 6×1×2 - 4 + 5$
$= 12 - 4 + 5$
$= 13$
【答案】：
(1) 多项式$A$为 $9x^{2}y - 3xy + x + 12$；
(2) $A-B$的正确结果为 $6x^{2}y + 2xy + 5$；
(3) 当$x = -1, y = 2$时，$A-B$的值为 $13$。

8 空间观念[2024汕头潮南区期末]把正方体(图1)沿着某些棱剪开,就可以得到正方体的表面展开图,如图2所示。在图1的正方体中,每个面上都写了一个含有字母x的整式,相对两个面上的整式之和都等于$4x-7$,且$A+D= 0$。(说明:A,B,C,D都表示含有字母x的整式)请回答下列问题:
(1)把图1的正方体沿着某些棱剪开得到它的表面展开图(图2),要剪开____条棱;
(2)整式$B+C= $____;
(3)求图2中D和“?”所表示的整式。

答案：
(1) 7
(2) $4x - 7$
(3) 解：由图2可知，标有“$2x^2 - x + 1$”的面与“?”相对，$A$与“?”相对，$B$与$C$相对，$D$与标有“$2x^2 - x + 1$”的面相对。
因为相对两个面上的整式之和都等于$4x - 7$，所以$D + (2x^2 - x + 1) = 4x - 7$，解得$D = -2x^2 + 5x - 8$。
又因为$A + D = 0$，所以$A = -D = 2x^2 - 5x + 8$。
因为$A$与“?”相对，所以“?”$= 4x - 7 - A = 4x - 7 - (2x^2 - 5x + 8) = -2x^2 + 9x - 15$。
答：$D$表示的整式为$-2x^2 + 5x - 8$，“?”表示的整式为$-2x^2 + 9x - 15$。

已知 $ A = 2x^{3} + 3ax - y $,$ B = bx^{3} - 3x + 2y - 1 $(其中 $ a $,$ b $ 为常数,且表示系数)。
(1) 计算 $ A - 2B $；
(2) 若 $ A - 2B $ 不含三次项,求 $ b $ 的值；
(3) 若 $ A - 2B $ 的值与字母 $ x $ 的值无关,求 $ (a - b) - (2a + b) $ 的值；
(4) 若 $ a = -\frac{1}{3} $,$ b = 2 $,且 $ |x + 2| + (y - 1)^{2} = 0 $,求 $ A - 2B $ 的值。

答案：
(3)因为A-2B的值与字母x的值无关，所以2-2b=0,且3a+6=0,所以a=-2,b=1,所以(a-b)-(2a+b)=a-b-2a-b=-a-2b=-(-2)-2×1=0。
(4)因为a=-$\frac{1}{3}$,b=2,所以A-2B=(2-2b)x³+(3a+6)x-5y+2=-2x³+5x-5y+2。因为|x+2|+(y-1)²=0,所以x=-2,y=1,所以原式=-2×(-2)³+5×(-2)-5×1+2=3。