《2025年赢在起跑线中学生快乐暑假八年级数学人教版河北少年儿童出版社》

10. 已知$a=2+\sqrt {5},b=2-\sqrt {5}$，求下列式子的值：
（1）$a^{2}b+ab^{2}$=-4.（2）$a^{2}-3ab+b^{2}$=21.

答案： 10. 解：$ \because a = 2 + \sqrt{5} $，$ b = 2 - \sqrt{5} $，
$ \therefore ab = (2 + \sqrt{5})(2 - \sqrt{5}) = 2^2 - (\sqrt{5})^2 = -1 $，
$ a + b = 2 + \sqrt{5} + 2 - \sqrt{5} = 4 $。
(1) $ a^2b + ab^2 = ab(a + b) = -1 \times 4 = -4 $。
(2) $ a^2 - 3ab + b^2 = (a + b)^2 - 5ab = 4^2 - 5 \times (-1) = 16 + 5 = 21 $。

11. 先阅读，再解决问题：
求$\sqrt {3+\sqrt {5}}+\sqrt {3-\sqrt {5}}$的值.
解：设$x=\sqrt {3+\sqrt {5}}+\sqrt {3-\sqrt {5}}$.
两边平方，得$x^{2}=(\sqrt {3+\sqrt {5}})^{2}+(\sqrt {3-\sqrt {5}})^{2}+2\sqrt {(3+\sqrt {5})(3-\sqrt {5})}$，
即$x^{2}=3+\sqrt {5}+3-\sqrt {5}+4,x^{2}=10,\therefore x=\pm \sqrt {10}$.
$\because \sqrt {3+\sqrt {5}}+\sqrt {3-\sqrt {5}}＞0,\therefore \sqrt {3+\sqrt {5}}+\sqrt {3-\sqrt {5}}=\sqrt {10}$.
请利用上述方法，求$\sqrt {4-\sqrt {7}}-\sqrt {4+\sqrt {7}}$的值.
解：设 $ x = \sqrt{4 - \sqrt{7}} - \sqrt{4 + \sqrt{7}} $，
两边平方，得 $ x^2 = (\sqrt{4 - \sqrt{7}})^2 + (\sqrt{4 + \sqrt{7}})^2 - 2\sqrt{(4 - \sqrt{7})(4 + \sqrt{7})} $，
即 $ x^2 = 4 - \sqrt{7} + 4 + \sqrt{7} - 6 $，
可得 $ x^2 = 2 $，$ \therefore x = \pm \sqrt{2} $。
$ \because \sqrt{4 - \sqrt{7}} - \sqrt{4 + \sqrt{7}} ＜ 0 $，
$ \therefore \sqrt{4 - \sqrt{7}} - \sqrt{4 + \sqrt{7}} = $$-\sqrt{2}$.

答案： 11. 解：设 $ x = \sqrt{4 - \sqrt{7}} - \sqrt{4 + \sqrt{7}} $，
两边平方，得 $ x^2 = (\sqrt{4 - \sqrt{7}})^2 + (\sqrt{4 + \sqrt{7}})^2 - 2\sqrt{(4 - \sqrt{7})(4 + \sqrt{7})} $，
即 $ x^2 = 4 - \sqrt{7} + 4 + \sqrt{7} - 6 $，
可得 $ x^2 = 2 $，$ \therefore x = \pm \sqrt{2} $。
$ \because \sqrt{4 - \sqrt{7}} - \sqrt{4 + \sqrt{7}} ＜ 0 $，
$ \therefore \sqrt{4 - \sqrt{7}} - \sqrt{4 + \sqrt{7}} = -\sqrt{2} $。