《2025年赢在起跑线中学生快乐暑假八年级数学人教版河北少年儿童出版社》

14. 如图，在菱形 ABCD 中，$ \angle A = 60^\circ $，$ AB = 4 $，O 为对角线 BD 的中点，过点 O 作 $ OE \perp AB $，垂足为 E。
（1）求 $ \angle ABD $ 的度数。60°
（2）求线段 BE 的长。1

答案： 解：
(1) 在菱形 $ ABCD $ 中，$ AB = AD $，$ \angle A = 60^{\circ} $，
$ \therefore \triangle ABD $ 为等边三角形，
$ \therefore \angle ABD = 60^{\circ} $.
(2) 由
(1) 可知 $ BD = AB = 4 $，
又 $ \because O $ 为 $ BD $ 的中点，$ \therefore OB = 2 $.
又 $ \because OE \perp AB $，$ \angle ABD = 60^{\circ} $，
$ \therefore \angle BOE = 30^{\circ} $. $ \therefore BE = \frac{1}{2}OB = \frac{1}{2} \times 2 = 1 $.

15. 如图，在矩形 ABCD 中，$ AD = 6 $，$ CD = 8 $，菱形 EFGH 的三个顶点 E，G，H 分别在矩形 ABCD 的边 AB，CD，DA 上，$ AH = 2 $，连接 CF。
（1）当 $ DG = 2 $ 时，求证：四边形 EFGH 是正方形。
（2）当 $ \triangle FCG $ 的面积为 2 时，求 CG 的值。

答案：

(1) 证明：在矩形 $ ABCD $ 中，有 $ \angle A = \angle D = 90^{\circ} $，
$ \therefore \angle DGH + \angle DHG = 90^{\circ} $.
在菱形 $ EFGH $ 中，$ EH = GH $，$ \because AH = 2 $，
$ DG = 2 $，$ \therefore AH = DG $，
$ \therefore Rt \triangle AEH \cong Rt \triangle DHG (HL) $.
$ \therefore \angle AHE = \angle DGH $.
$ \therefore \angle AHE + \angle DHG = 90^{\circ} $.
$ \therefore \angle EHG = 90^{\circ} $.
$ \therefore $ 四边形 $ EFGH $ 是正方形.
(2) 解：如图，过点 $ F $ 作 $ FM \perp DC $ 于点 $ M $，则 $ \angle FMG = 90^{\circ} $.

$ \therefore \angle A = \angle FMG = 90^{\circ} $. 连接 $ EG $.
由矩形和菱形性质，知 $ AB // DC $，$ HE // GF $，
$ \therefore \angle AEG = \angle MGE $，$ \angle HEG = \angle FGE $.
$ \therefore \angle AEH = \angle MGF $.
$ \because EH = GF $，
$ \therefore \triangle AEH \cong \triangle MGF $.
$ \therefore FM = AH = 2 $.
$ \because S_{\triangle FCG} = \frac{1}{2} CG \cdot FM = \frac{1}{2} CG \times 2 = 2 $，
$ \therefore CG = 2 $.