《2025年赢在起跑线中学生快乐暑假八年级数学人教版河北少年儿童出版社》

6. 如图，在 $5×5$ 的正方形网格中，从在格点上的点 $A$，$B$，$C$，$D$ 中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为 …………………………………………………（C）

A. $1$
B. $2$
C. $3$
D. $4$

答案： C

7. 已知三角形三边长为 $a$，$b$，$c$，如果 $\sqrt{a - 6}+\vert b - 8\vert+(c - 10)^{2}=0$，那么 $\triangle ABC$ 是直角三角形.

答案： 直角

8. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AB = BC = 2$，$CD = 1$，$AD = 3$，若 $\angle B = 90^{\circ}$，则 $\angle BCD$ 的度数为$135^{\circ}$.

答案： $ 135^{\circ} $

9. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$\angle B = 90^{\circ}$，$AB = 4$，$BC = 3$，$CD = 12$，$AD = 13$，求四边形的面积.

解：连接 $ AC $，图略。
在 $ \text{Rt} \triangle ABC $ 中，$ AC^{2} = 4^{2} + 3^{2} $，
则 $ AC = $5。
在 $ \triangle ACD $ 中，$ AC^{2} + CD^{2} = 5^{2} + 12^{2} = 169 = 13^{2} $，
即 $ AC^{2} + CD^{2} = AD^{2} $，则 $ \angle ACD = $90°。
所以四边形的面积为 $ \frac{1}{2} × 4 × 3 + \frac{1}{2} × 5 × 12 = $36。

答案： 解：连接 $ AC $，图略。
在 $ \text{Rt} \triangle ABC $ 中，$ AC^{2} = 4^{2} + 3^{2} $，
则 $ AC = 5 $。
在 $ \triangle ACD $ 中，$ AC^{2} + CD^{2} = 5^{2} + 12^{2} = 169 = 13^{2} $，
即 $ AC^{2} + CD^{2} = AD^{2} $，则 $ \angle ACD = 90^{\circ} $。
所以四边形的面积为 $ \frac{1}{2} \times 4 \times 3 + \frac{1}{2} \times 5 \times 12 = 36 $。

10. 如图，在长方形 $ABCD$ 中，$AB = 24$，$AD = 50$，$E$ 是 $AD$ 上一点，且 $AE:ED = 9:16$.
（1）求 $BE$，$CE$ 的长. $BE=$30，$CE=$40.
（2）判断 $\triangle BEC$ 的形状，并说明理由. $\triangle BEC$ 是直角三角形。理由如下：$ \because BE = 30 $，$ CE = 40 $，$ BC = AD = 50 $，$ \therefore BE^{2} + CE^{2} = BC^{2} $，$ \therefore \triangle BEC $ 是直角三角形。

答案： 解：
(1) $ \because AD = 50 $，$ AE : ED = 9 : 16 $，
$ \therefore AE = 18 $，$ DE = 32 $。
$ \because AB = 24 $，$ \therefore BE = \sqrt{AE^{2} + AB^{2}} = 30 $，$ CE = \sqrt{DE^{2} + CD^{2}} = 40 $。
(2) $ \triangle BEC $ 是直角三角形。理由如下：
$ \because BE = 30 $，$ CE = 40 $，$ BC = AD = 50 $，
$ \therefore BE^{2} + CE^{2} = BC^{2} $，
$ \therefore \triangle BEC $ 是直角三角形。