《2025年赢在起跑线中学生快乐暑假八年级数学人教版河北少年儿童出版社》

18. （12分）如图所示的$Rt\triangle ABC$中，$∠B=90^{\circ }$，点$P$从点$B$开始沿$BA$边以1cm/s的速度向点$A$移动；同时，点$Q$也从点$B$开始沿$BC$边以2cm/s的速度向点$C$移动.问：$\sqrt{35}$秒后$\triangle PBQ$的面积为$35cm^{2}$？$P$，$Q$的距离是$5\sqrt{7}$厘米？（结果用最简二次根式表示）

答案： 18.解:设xs后△PBQ的面积为35cm².
　则有PB=x,BQ=2x,
　依题意，得$\frac{1}{2}$x·2x=35.
　x²=35.
　解得x=$\sqrt{35}$
　所以　$\sqrt{35}$s后△PBQ的面积为35cm².PQ=$\sqrt{PB²+BQ²}$
　=$\sqrt{x²+4x²}$
　=$\sqrt{5x²}$
　=$\sqrt{5×35}$
　=5$\sqrt{7}$(cm).
　答:$\sqrt{35}$s后△PBQ的面积为35cm²,P,Q的距离为5$\sqrt{7}$cm.

19. （14分）如图，矩形$EFGH$的顶点$E$，$G$分别在菱形$ABCD$的边$AD$，$BC$上，顶点$F$，$H$在菱形$ABCD$的对角线$BD$上.

（1）求证：$BG=DE$.
（2）若$E$为$AD$中点，$FH=2$，求菱形$ABCD$的周长.

答案：
19.
(1)证明:
∵四边形EFGH是矩形，
　
∴EH=FG,EH//FG,
∴∠GFH=∠EHF.
∵∠BFG=180°−∠GFH,
∠DHE=180°−∠EHF,
∴∠BFG=∠DHE.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC,
∴∠GBF=∠EDH,
∴△BGF≌△DEH(AAS),
∴BG=DE.
(2)解:如图，连接EG,
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=BC,AD//BC.
∵E为AD中点，
∴AE=DE.
∵BG=DE,
∴AE=BG,又AE//BG,
∴四边形ABGE是平行四边形，
∴AB=EG.
∵在矩形EFGH中,
EG=FH=2,
∴AB=2,
∴菱形ABCD的周长为8.