《2025年赢在起跑线中学生快乐暑假八年级数学人教版河北少年儿童出版社》

11. 若 $\triangle ABC$ 的三边长为 $a$，$b$，$c$，$a^{2}+b^{2}+c^{2}+200 = 12a + 16b + 20c$，判断 $\triangle ABC$ 的形状.

答案： 解：$ \because a^{2} + b^{2} + c^{2} + 200 = 12a + 16b + 20c $，
$ \therefore (a^{2} - 12a + 36) + (b^{2} - 16b + 64) + (c^{2} - 20c + 100) = 0 $，
即 $ (a - 6)^{2} + (b - 8)^{2} + (c - 10)^{2} = 0 $。
$ \therefore a - 6 = 0 $，$ b - 8 = 0 $，$ c - 10 = 0 $，即 $ a = 6 $，$ b = 8 $，$ c = 10 $。
而 $ 6^{2} + 8^{2} = 100 = 10^{2} $，
$ \therefore a^{2} + b^{2} = c^{2} $。
$ \therefore \triangle ABC $ 为直角三角形。

12. 某县辖 $A$，$C$，$D$ 三镇在一条直线上，相互两镇间的公路里程如图所示，由于大山阻隔，原来从 $A$，$C$ 两镇去 $D$ 镇都需绕到 $B$ 镇前往. 为了发展经济，缩短 $A$，$C$ 两镇到 $D$ 镇的路程，现决定开凿隧道修通 $A$，$C$ 两镇直达 $D$ 镇的公路 $AD$. 请问公路修通后从 $A$ 镇去 $D$ 镇比原来缩短路程多少千米？（数据 $\sqrt{1024}=32$，$\sqrt{2176}\approx46.65$ 供选用）


答：公路修通后从 $A$ 镇去 $D$ 镇比原来缩短路程32千米.

答案： 解：$ \because AC^{2} + AB^{2} = 10^{2} + 24^{2} = 100 + 576 = 676 $，$ BC^{2} = 26^{2} = 676 $，
$ \therefore AC^{2} + AB^{2} = BC^{2} $。
由勾股定理的逆定理，得 $ \angle BAC = 90^{\circ} $。
$ \therefore \angle BAD = 180^{\circ} - \angle BAC = 90^{\circ} $。
在 $ \text{Rt} \triangle ABD $ 中，由勾股定理，得
$ AD = \sqrt{BD^{2} - AB^{2}} = \sqrt{40^{2} - 24^{2}} = \sqrt{1024} = 32(\text{km}) $。
$ 24 + 40 - 32 = 32(\text{km}) $。
$ \therefore $ 公路修通后从 $ A $ 镇去 $ D $ 镇比原来缩短路程 $ 32 \text{ km} $。