《2025年赢在起跑线中学生快乐暑假八年级数学人教版河北少年儿童出版社》

18. （12分）如图，在菱形$ABCD$中，$\angle ABC$与$\angle BAD$的度数比为$1 : 2$，周长是$32$.求：
（1）两条对角线的长度.
$AC=$8，$BD=$$8\sqrt{3}$.
（2）菱形的面积.
$S_{菱形}=$$32\sqrt{3}$.

答案： 解：
(1) $AC = 8$，$BD = 8\sqrt{3}$。
(2) $S_{菱形} = 32\sqrt{3}$。

19. （14分）如图，在$\mathrm { Rt } \triangle A B C$中，$\angle A C B = 90 ^ { \circ }$，过点$C$的直线$MN // AB$，$D$为$AB$边上一点，过点$D$作$DE \perp BC$，交直线$MN$于点$E$，垂足为$F$，连接$CD$，$BE$.
（1）求证：$CE = AD$.
（2）当$D$是$AB$中点时，四边形$BECD$是什么特殊四边形？说明你的理由.
（3）若$D$为$AB$中点，则当$\angle A$的大小满足什么条件时，四边形$BECD$是正方形？请说明你的理由.

（1）证明：$\because DE \perp BC$，$\therefore \angle DFB = 90^{\circ}$。
$\because \angle ACB = 90^{\circ}$，$\therefore \angle ACB = \angle DFB$，
$\therefore AC // DE$。
$\because MN // AB$，即 $CE // AD$，$\therefore$ 四边形 $ADEC$ 是平行四边形，$\therefore CE = AD$。
（2）解：四边形 $BECD$ 是菱形。理由如下：
$\because D$ 为 $AB$ 中点，$\therefore AD = BD$。
$\because CE = AD$，$\therefore BD = CE$。
$\because BD // CE$，
$\therefore$ 四边形 $BECD$ 是平行四边形。
$\because DE \perp BC$，$\therefore$ 四边形 $BECD$ 是菱形。
（3）解：当 $\angle A =$$45^{\circ}$时，四边形 $BECD$ 是正方形。理由如下：
$\because \angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle A = 45^{\circ}$，$\therefore \angle ABC = \angle A = 45^{\circ}$，$\therefore AC = BC$。
$\because D$ 为 $AB$ 中点，$\therefore CD \perp AB$，
$\therefore \angle CDB = 90^{\circ}$。
$\because$ 四边形 $BECD$ 是菱形，$\therefore$ 菱形 $BECD$ 是正方形，
即当 $\angle A = 45^{\circ}$ 时，四边形 $BECD$ 是正方形。

答案：
(1) 证明：$\because DE \perp BC$，$\therefore \angle DFB = 90^{\circ}$。
$\because \angle ACB = 90^{\circ}$，$\therefore \angle ACB = \angle DFB$，
$\therefore AC // DE$。
$\because MN // AB$，即 $CE // AD$，$\therefore$ 四边形 $ADEC$ 是平行四边形，$\therefore CE = AD$。
(2) 解：四边形 $BECD$ 是菱形。理由如下：
$\because D$ 为 $AB$ 中点，$\therefore AD = BD$。
$\because CE = AD$，$\therefore BD = CE$。
$\because BD // CE$，
$\therefore$ 四边形 $BECD$ 是平行四边形。
$\because DE \perp BC$，$\therefore$ 四边形 $BECD$ 是菱形。
(3) 解：当 $\angle A = 45^{\circ}$ 时，四边形 $BECD$ 是正方形。理由如下：
$\because \angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle A = 45^{\circ}$，$\therefore \angle ABC = \angle A = 45^{\circ}$，$\therefore AC = BC$。
$\because D$ 为 $AB$ 中点，$\therefore CD \perp AB$，
$\therefore \angle CDB = 90^{\circ}$。
$\because$ 四边形 $BECD$ 是菱形，$\therefore$ 菱形 $BECD$ 是正方形，
即当 $\angle A = 45^{\circ}$ 时，四边形 $BECD$ 是正方形。