《2025年暑假作业兰州大学出版社七年级数学人教版》

【典例剖析】已知关于 $x$,$y$ 的方程组 $\begin{cases}2x + 3y = k,\textcircled{1}\\3x + 5y = k + 2\textcircled{2}\end{cases} $ 的解的和是 $12$,求 $k$ 的值.
解：法一 解方程组,得 $\begin{cases}x = 2k - 6,\\y = 4 - k,\end{cases} $ 所以 $2k - 6 + 4 - k = 12$,所以 $k = 14$.
法二 由 $x + y = 12$,得 $x = 12 - y$.
把 $x = 12 - y$ 代入方程组,得 $\begin{cases}2(12 - y) + 3y = k,\\3(12 - y) + 5y = k + 2,\end{cases} $ 解得 $\begin{cases}k = 14,\\y = - 10.\end{cases} $
法三 $\textcircled{2}-\textcircled{1}$,得 $x + 2y = 2$,和方程 $x + y = 12$ 组成方程组 $\begin{cases}x + 2y = 2,\\x + y = 12,\end{cases} $
解得 $\begin{cases}x = 22,\\y = - 10,\end{cases} $ 把 $\begin{cases}x = 22,\\y = - 10\end{cases} $ 代入 $\textcircled{1}$,得 $k = 14$.
法四 $\textcircled{1}×2-\textcircled{2}$,得 $x + y = k - 2$,所以 $k - 2 = 12$,解得 $k = 14$.
【归纳总结】虽然这类题型运用上面四种方法都能解出,但在具体解题时,我们应当根据题目特点,选择合适的方法进行运算. 比如这道题选择法三或法四来解就显得较简便.
综上，$k$的值为$14$。

答案： 解：法一：解方程组$\begin{cases}2x + 3y = k \\3x + 5y = k + 2\end{cases}$，
由①×5 - ②×3得：$10x + 15y - 9x - 15y = 5k - 3(k + 2)$，
即$x = 2k - 6$，
将$x = 2k - 6$代入①得：$2(2k - 6) + 3y = k$，
$4k - 12 + 3y = k$，$3y = -3k + 12$，$y = -k + 4$，
所以$\begin{cases}x = 2k - 6 \\y = 4 - k\end{cases}$，
因为$x + y = 12$，所以$2k - 6 + 4 - k = 12$，$k - 2 = 12$，解得$k = 14$。
法二：因为$x + y = 12$，所以$x = 12 - y$，
把$x = 12 - y$代入方程组得$\begin{cases}2(12 - y) + 3y = k \\3(12 - y) + 5y = k + 2\end{cases}$，
即$\begin{cases}24 + y = k \\36 + 2y = k + 2\end{cases}$，
将$k = 24 + y$代入②得：$36 + 2y = 24 + y + 2$，$36 + 2y = 26 + y$，$y = -10$，
把$y = -10$代入$k = 24 + y$得$k = 24 - 10 = 14$。
法三：② - ①得：$x + 2y = 2$，
与$x + y = 12$组成方程组$\begin{cases}x + 2y = 2 \\x + y = 12\end{cases}$，
① - ②得：$y = -10$，
将$y = -10$代入$x + y = 12$得$x = 22$，
把$\begin{cases}x = 22 \\y = -10\end{cases}$代入①得$2×22 + 3×(-10) = k$，$44 - 30 = k$，解得$k = 14$。
法四：①×2 - ②得：$4x + 6y - 3x - 5y = 2k - (k + 2)$，
即$x + y = k - 2$，
因为$x + y = 12$，所以$k - 2 = 12$，解得$k = 14$。
综上，$k$的值为$14$。