《2025年暑假作业兰州大学出版社七年级数学人教版》

10. 如图,在$12×10$的正方形网格中,横、纵坐标均为整数的点叫作格点,点$A$,$B$,$C$,$O$均在格点上,其中$O$为坐标原点,点$A的坐标为(-3,3)$.
(1)点$C$的坐标为(-1,5).
(2)将三角形$ABC$向右平移6个单位长度,再向下平移1个单位长度,对应得到三角形$A_1B_1C_1$,请在图中画出平移后的三角形$A_1B_1C_1$,并求三角形$A_1B_1C_1$的面积.
解：画图略。
∵A(-3,3),B(-3,1),C(-1,5)
∴A₁(3,2),B₁(3,0),C₁(5,4)
过C₁作C₁D⊥A₁B₁于D，A₁B₁=2，C₁D=2
S△A₁B₁C₁=1/2×2×2=2
(3)若在$x轴上有一点P$,使得三角形$PA_1B_1的面积等于三角形A_1B_1C_1$的面积,直接写出点$P$的坐标.(2,0)或(4,0)

答案：
(1)(-1,5)
(2)解：画图略。
∵A(-3,3),B(-3,1),C(-1,5)
∴A₁(3,2),B₁(3,0),C₁(5,4)
过C₁作C₁D⊥A₁B₁于D，A₁B₁=2，C₁D=2
S△A₁B₁C₁=1/2×2×2=2
(3)(2,0)或(4,0)

11. 在平面直角坐标系中有两点$A(-a + 2,-b + 1)$,$B(3a,b)$.若点$A$向右移动2个单位长度,再向下移动3个单位长度后与点$B$重合,则点$B$所在的象限为(D)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： 【解析】：
首先，我们根据题目描述，点$A(-a + 2, -b + 1)$向右移动2个单位长度，其横坐标变为$-a + 2 + 2 = -a + 4$；
再向下移动3个单位长度，其纵坐标变为$-b + 1 - 3 = -b - 2$。
移动后的点$A$与点$B(3a, b)$重合，因此我们可以得到以下方程组：
$\begin{cases}-a + 4 = 3a, \\-b - 2 = b.\end{cases}$解这个方程组，我们得到：
$\begin{cases}4a = 4 \implies a = 1, \\2b = -2 \implies b = -1.\end{cases}$将$a = 1$和$b = -1$代入点$B$的坐标，得到$B(3, -1)$。
根据平面直角坐标系的定义，横坐标为正、纵坐标为负的点位于第四象限。
【答案】：
D. 第四象限。

12. 已知点$P(m + 1,m - 6)$是第四象限的一个点,且点$P到x$轴的距离是4个单位长度.若点$P$不动,将$x$轴向上平移2个单位长度,$y$轴向右平移4个单位长度,那么在新的平面直角坐标系中,点$P$的坐标为$(-1, -6)$.

答案： 【解析】：
本题主要考查了点的坐标与坐标系平移的关系。
首先，由于点$P(m + 1,m - 6)$在第四象限，其横坐标为正，纵坐标为负。
又因为点$P$到$x$轴的距离是4个单位长度，在第四象限中，一个点到$x$轴的距离等于该点纵坐标的绝对值。
所以有：
$|m - 6| = 4$
由于点$P$在第四象限，纵坐标应为负，因此：
$m - 6 = -4$
解得：
$m = 2$
将$m = 2$代入点$P$的坐标表达式，得到点$P$的坐标为$(3, -4)$。
接下来，考虑坐标系的平移。
$x$轴向上平移2个单位长度，相当于点$P$在纵坐标上向下平移2个单位长度；
$y$轴向右平移4个单位长度，相当于点$P$在横坐标上向左平移4个单位长度。
因此，在新的平面直角坐标系中，点$P$的坐标为：
$(3 - 4, -4 - 2) = (-1, -6)$
【答案】：
$(-1, -6)$