《2025年暑假作业兰州大学出版社七年级数学人教版》

【典例剖析】如图,已知 $ AB // CD $.探究 $ \angle ABP $,$ \angle BPC $,$ \angle PCD $ 三者之间的数量关系.

解：(1)过点 $ P $ 作 $ PH // AB $,
$ \because AB // CD $,
$ \therefore PH // AB // CD $.
$ \therefore \angle ABP = \angle BPH $,$ \angle DCP = \angle CPH $,
$ \therefore \angle ABP + \angle DCP = \angle BPH + \angle CPH $.
又 $ \angle BPH + \angle CPH = \angle BPC $,
$ \therefore \angle ABP + \angle DCP = \angle BPC $.
(2)过点 $ P $ 作 $ PH // AB $,
$ \because AB // CD $,
$ \therefore PH // AB // CD $.
$ \therefore \angle ABP = \angle BPH $,$ \angle DCP = \angle CPH $,
$ \therefore \angle DCP - \angle ABP = \angle CPH - \angle BPH $.
又 $ \angle CPH - \angle BPH = \angle BPC $,
$ \therefore \angle DCP = \angle ABP + \angle BPC $.
(3)(4)(5)与(2)证法类似.
(6)过点 $ P $ 作 $ PH // AB $,
$ \because AB // CD $,
$ \therefore PH // AB // CD $.
$ \therefore \angle ABP + \angle BPH = 180 ^ { \circ } $,$ \angle DCP + \angle CPH = 180 ^ { \circ } $,
$ \therefore \angle ABP + \angle DCP + \angle BPH + \angle CPH = 360 ^ { \circ } $.
又 $ \angle BPH + \angle CPH = \angle BPC $,
$ \therefore \angle ABP + \angle DCP + \angle BPC = 360 ^ { \circ } $.
【归纳总结】遇到折线截平行线,一般过拐点作已知直线的平行线,然后利用平行线的性质确定角的关系,并要注意找规律.

答案：
(1)解：过点P作PH//AB，
∵AB//CD，
∴PH//AB//CD，
∴∠ABP=∠BPH，∠PCD=∠CPH，
∴∠ABP+∠PCD=∠BPH+∠CPH，
∵∠BPH+∠CPH=∠BPC，
∴∠ABP+∠PCD=∠BPC；
(2)解：过点P作PH//AB，
∵AB//CD，
∴PH//AB//CD，
∴∠ABP=∠BPH，∠PCD=∠CPH，
∴∠PCD-∠ABP=∠CPH-∠BPH，
∵∠CPH-∠BPH=∠BPC，
∴∠PCD-∠ABP=∠BPC；
(3)解：过点P作PH//AB，
∵AB//CD，
∴PH//AB//CD，
∴∠ABP=∠BPH，∠PCD=∠CPH，
∴∠ABP-∠PCD=∠BPH-∠CPH，
∵∠BPH-∠CPH=∠BPC，
∴∠ABP-∠PCD=∠BPC；
(4)解：过点P作PH//AB，
∵AB//CD，
∴PH//AB//CD，
∴∠ABP=∠BPH，∠PCD=∠CPH，
∴∠ABP-∠PCD=∠BPH-∠CPH，
∵∠BPH-∠CPH=∠BPC，
∴∠ABP-∠PCD=∠BPC；
(5)解：过点P作PH//AB，
∵AB//CD，
∴PH//AB//CD，
∴∠ABP=∠BPH，∠PCD=∠CPH，
∴∠PCD-∠ABP=∠CPH-∠BPH，
∵∠CPH-∠BPH=∠BPC，
∴∠PCD-∠ABP=∠BPC；
(6)解：过点P作PH//AB，
∵AB//CD，
∴PH//AB//CD，
∴∠ABP+∠BPH=180°，∠PCD+∠CPH=180°，
∴∠ABP+∠PCD+∠BPH+∠CPH=360°，
∵∠BPH+∠CPH=∠BPC，
∴∠ABP+∠PCD+∠BPC=360°．