《2025年学力水平快乐假暑假八年级数学北师大版北京教育出版社》

6. 如图,要将一块等腰直角三角形的木板,通过切割拼接成一个含有$45^{\circ }$角的平行四边形,请你设计一个方案,并给出设计理由.
(1)画图说明设计方案;过点C作AB边的垂线CD,沿CD切割.画图略
(2)证明方案的可行性.略

答案：
(1)过点C作AB边的垂线CD,沿CD切割.画图略.
(2)略.

7. 课本里判定四边形是平行四边形的方法有:(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形;(2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;(3)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形;(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.

答案：
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形;
(2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;
(3)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形;
(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.

(二)质疑和收获
某同学对"一组对边相等且一组对角也相等的四边形是平行四边形"作了肯定的回答,并且给出了证明.
下面是这位同学的证明过程,而王浩却从中找到了一些漏洞.你发现了吗?让我们一起来试试.
证明:如图,设$AB= CD,∠A= ∠C$,连接 BD,将$△BDC$沿 BD 翻折到$△BDC',BC'$与AD 交于点 E.在$△ABE与△C'DE$中,$AB= CD= C'D,∠A= ∠C= ∠C',∠AEB= ∠C'ED$,所以$△ABE\cong △C'DE$.从而$BE= DE,∠BDE= ∠EBD$.在$△ADB与△C'BD$中,$∠BDA= ∠DBC',∠A= ∠C= ∠C',BD= BD$,所以$△ADB\cong △C'BD$.从而$AD= BC'= BC$.四边形 ABCD 有两组对边分别相等,因而是平行四边形.
8. 现在我们来分析这个证明过程.
(1)本题可理解为分四步来证明命题:第一步,证明$△ABE\cong △C'DE$,条件是AB=C'D,∠A=∠C',∠AEB=∠C'ED,理由是两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等;第二步,证明$△ADB\cong △C'BD$,条件是∠BDA=∠DBC',∠A=∠C',BD=BD,理由是两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等;第三步,证明$AD= BC$,条件是△ADB≌△C'BD,理由是全等三角形的对应边相等;第四步,证明四边形 ABCD 是平行四边形,条件是AD=BC,AB=CD,理由是两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
这一证明步骤中是否有错误?若有,请指出来.答:有错误,线段AD与线段BC'不一定有交点.
(2)如果要证明一个命题是错误的,那么我们只要举出一个反例即可,对于这个命题,你能举出一个反面例子来说明它是错误的吗?
答:
如图，作等腰三角形AEC,再作相应的△ABE与△CDA全等即可得一反例
(3)在证明命题的过程中,我们始终要先做一件事,那就是结合题意画图,只有画出符合题意的图我们才能正确地进行证明.画一个图形,借助直观的图形解题,的确要方便得多.不过,你的图形画得怎样,是否正确、清楚,条件和结论有没有在图中充分地反映出来,有没有用特殊代替一般等都是我们要考虑的.那么,对于前述命题的证明所用的图形是否合理?合理的图又该是怎样的呢?(请画出图说明)
答:
应画两个图形来证明假设中的两种情况(其中一种无法证出).
9. 下面我们就用这个"定理"来解释一个错误的证明.
"$441= 442$"显然是一个错误的结论.李可欣却证明了它是成立的,证明如下.
图①是一个正方形,边长为 21,按照图上所标尺寸,将它剪成四块,再拼合成图②那样的长 34、宽 13 的一个长方形.
正方形的面积$=21×21= 441$,长方形的面积$=34×13= 442$.
由于图形的分割与移动并不改变图形的面积,因此正方形与长方形的面积相等,于是$441= 442$.
这个结论当然是荒谬的,可是,证明这一结论的每一步,却又似乎无懈可击,原因在哪里呢?
如果你找不到原因,那么就请你用纸照着剪拼一下,这时你一定会看出其中的奥秘的.
图形的分割、移动、拼合是不会改变图形本身的面积的.图①中,每一个直角三角形的面积=84;每一个直角梯形的面积=136.5;四块图形的面积的和=441.而图②中长方形的面积=442.这正好说明:此四块图形拼合起来，并不是一个完全契合的长方形;事实上,它们拼合得到的是一个有空隙的长方形,中间的空隙呈平行四边形,如图.你能用所学知识来证明它吗?
答:
证明可用勾股定理计算出相应边长，然后就会发现拼合成的直角三角形的斜边不是一直线而是折线

答案：
8.
(1)AB=C'D,∠A=∠C',∠AEB=∠C'ED 两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等 ∠BDA=∠DBC',∠A=∠C',BD=BD 两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等 △ADB≌△C'BD 全等三角形的对应边相等 AD=BC,AB=CD 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 有错误,线段AD与线段BC'不一定有交点
(2)反例 如图，作等腰三角形AEC,再作相应的△ABE与△CDA全等即可得一反例

(3)应画两个图形来证明假设中的两种情况(其中一种无法证出).
9. 84 136.5 441 442 此四块图形拼合起来，并不是一个完全契合的长方形 证明可用勾股定理计算出相应边长，然后就会发现拼合成的直角三角形的斜边不是一直线而是折线