《2025年学力水平快乐假暑假八年级数学北师大版北京教育出版社》

1.“约去"指数
如$\frac{33+13}{33+23}$= $\frac{3+1}{3+2}$,$\frac{53+23}{53+33}$= $\frac{5+2}{5+3}$,...
你见过这样的约分吗？
对这荒谬的约分,一笑之后,再认真检验,发现其结果竟然正确,这是什么原因？
仔细观察式子,我们可作如下猜想:
$\frac{a^2+63}{a^2+(a-b)3}$= $\frac{a+b}{+(a-b)}$,你能证明吗？请在下面给出证明过程.

答案： 【解析】：
本题可先根据立方和公式$x^{3}+y^{3}=(x + y)(x^{2}-xy + y^{2})$对分子$a^{3}+b^{3}$与分母$a^{3}+(a - b)^{3}$进行因式分解，然后再进行约分，看是否能得到$\frac{a + b}{a+(a - b)}$。
- **步骤一：对分子$a^{3}+b^{3}$进行因式分解**
根据立方和公式$x^{3}+y^{3}=(x + y)(x^{2}-xy + y^{2})$，令$x = a$，$y = b$，可得：
$a^{3}+b^{3}=(a + b)(a^{2}-ab + b^{2})$
- **步骤二：对分母$a^{3}+(a - b)^{3}$进行因式分解**
同样根据立方和公式$x^{3}+y^{3}=(x + y)(x^{2}-xy + y^{2})$，令$x = a$，$y = a - b$，可得：
$a^{3}+(a - b)^{3}=[a+(a - b)][a^{2}-a(a - b)+(a - b)^{2}]$
对$[a+(a - b)][a^{2}-a(a - b)+(a - b)^{2}]$中的$a^{2}-a(a - b)+(a - b)^{2}$进行化简：
$\begin{aligned}a^{2}-a(a - b)+(a - b)^{2}&=a^{2}-(a^{2}-ab)+(a^{2}-2ab + b^{2})\\&=a^{2}-a^{2}+ab+a^{2}-2ab + b^{2}\\&=a^{2}-ab + b^{2}\end{aligned}$
所以$a^{3}+(a - b)^{3}=[a+(a - b)](a^{2}-ab + b^{2})$。
- **步骤三：对$\frac{a^{3}+b^{3}}{a^{3}+(a - b)^{3}}$进行约分**
将$a^{3}+b^{3}=(a + b)(a^{2}-ab + b^{2})$与$a^{3}+(a - b)^{3}=[a+(a - b)](a^{2}-ab + b^{2})$代入$\frac{a^{3}+b^{3}}{a^{3}+(a - b)^{3}}$可得：
$\frac{a^{3}+b^{3}}{a^{3}+(a - b)^{3}}=\frac{(a + b)(a^{2}-ab + b^{2})}{[a+(a - b)](a^{2}-ab + b^{2})}$
因为$a^{2}-ab + b^{2}\neq0$，所以分子分母同时约去$a^{2}-ab + b^{2}$，得到$\frac{a + b}{a+(a - b)}$。
【答案】：
证明如下：
根据立方和公式$x^{3}+y^{3}=(x + y)(x^{2}-xy + y^{2})$，则$a^{3}+b^{3}=(a + b)(a^{2}-ab + b^{2})$，$a^{3}+(a - b)^{3}=[a+(a - b)][a^{2}-a(a - b)+(a - b)^{2}]$。
对$a^{2}-a(a - b)+(a - b)^{2}$化简：
$\begin{aligned}a^{2}-a(a - b)+(a - b)^{2}&=a^{2}-(a^{2}-ab)+(a^{2}-2ab + b^{2})\\&=a^{2}-a^{2}+ab+a^{2}-2ab + b^{2}\\&=a^{2}-ab + b^{2}\end{aligned}$
所以$a^{3}+(a - b)^{3}=[a+(a - b)](a^{2}-ab + b^{2})$。
则$\frac{a^{3}+b^{3}}{a^{3}+(a - b)^{3}}=\frac{(a + b)(a^{2}-ab + b^{2})}{[a+(a - b)](a^{2}-ab + b^{2})}=\frac{a + b}{a+(a - b)}$。
故猜想成立。