《2025年学力水平快乐假暑假八年级数学北师大版北京教育出版社》

专题1 借助面积法解决问题
例1 如图,D,E是∠AOB的边OB上的两点,F,G是边OA上的两点,且OD= OF,OE= OG,EF与DG交于点C.求证:OC平分∠AOB.

【解析】证明一条射线是角平分线,一般是根据定义,或利用角平分线的判定方法.
如果根据定义来证,需依次证明△OEF≌△OGD,△CDE≌△CFG,△OCG≌△OCE或△OCF≌△OCD,要证三次全等,比较繁琐.
如果根据角平分线的判定方法,需要证明点C到∠AOB两边的距离相等,距离相等可以通过全等或面积相等证得.过C分别作OA,OB的垂线段CM,CN.先证得△OEF≌△OGD,那么△OEF与△ODG的面积相等,去掉公共部分,则△CDE与△CFG的面积相等(这里不必证△CDE≌△CFG).由题意,DE= FG,从而CM= CN,所以OC平分∠AOB.
【答案】过点C分别作OA,OB的垂线,垂足分别为M,N,如图.

∵OD= OF,OE= OG,∴DE= FG.
在△OGD与△OEF中, $\left\{ \begin{array} { l } { O D = O F , ( \text { 已知 } ) } \\ { \angle D O G = \angle F O E , ( \text { 公共角 } ) } \\ { O G = O E , ( \text { 已知 } ) } \end{array} \right.$
∴△OEF≌△OGD(SAS),
∴ $S _ { \triangle O E F } = S _ { \triangle O G D }$,
∴ $S _ { \triangle O E F } - S _ { \text { 四边形 } O D C F } = S _ { \triangle O G D } - S _ { \text { 四边形 } O D C F }$,即 $S _ { \triangle C D E } = S _ { \triangle C F G }$.
∵CM⊥OA,CN⊥OB,
∴ $\frac { 1 } { 2 } D E \cdot C N = \frac { 1 } { 2 } F G \cdot C M$.
∵DE= FG,
∴CN= CM.
∵CM⊥OA,CN⊥OB,
∴OC平分∠AOB.
【点拨】当线段之间有垂直关系及相等关系时,可考虑利用面积作为桥梁解决问题.

答案：
【答案】过点C分别作OA,OB的垂线,垂足分别为M,N,如图.

∵OD= OF,OE= OG,
∴DE= FG.
在△OGD与△OEF中, $\left\{ \begin{array} { l } { O D = O F , ( \text { 已知 } ) } \\ { \angle D O G = \angle F O E , ( \text { 公共角 } ) } \\ { O G = O E , ( \text { 已知 } ) } \end{array} \right.$
∴△OEF≌△OGD(SAS),
∴ $S _ { \triangle O E F } = S _ { \triangle O G D }$,
∴ $S _ { \triangle O E F } - S _ { \text { 四边形 } O D C F } = S _ { \triangle O G D } - S _ { \text { 四边形 } O D C F }$,即 $S _ { \triangle C D E } = S _ { \triangle C F G }$.
∵CM⊥OA,CN⊥OB,
∴ $\frac { 1 } { 2 } D E \cdot C N = \frac { 1 } { 2 } F G \cdot C M$.
∵DE= FG,
∴CN= CM.
∵CM⊥OA,CN⊥OB,
∴OC平分∠AOB.
【点拨】当线段之间有垂直关系及相等关系时,可考虑利用面积作为桥梁解决问题.