《2025年学力水平快乐假暑假八年级数学北师大版北京教育出版社》

专题3 数学建模思想
本章中的实际应用题,都要将实际问题数学化,列出不等式(组),使问题通过不等式(组)得以解决,这是数学建模思想的应用。
例3 某校为了奖励在数学竞赛中获奖的学生,买了若干本课外读物准备送给他们,如果每人送3本,则还余8本,如果每人送5本,则最后1人得到的课外读物不足3本。设该校买了m本课外读物,有x名学生获奖,请解答下列问题：
(1)用含x的代数式表示m；
(2)求出该校的获奖人数及所买的课外读物的本数。

答案： 【答案】
(1) $ m = 3 x + 8 $。
(2)由题意可得 $ \left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 8 - 5 ( x - 1 ) \geq 0, } \\ { 3 x + 8 - 5 ( x - 1 ) ＜ 3. } \end{array} \right. $ 解不等式组,得 $ 5 ＜ x \leq 6 \frac { 1 } { 2 } $。
因为x是整数,所以 $ x = 6 $。把 $ x = 6 $ 代入 $ m = 3 x + 8 $,得 $ m = 26 $。
故该校的获奖人数为6人,所买的课外读物的本数为26本。
【点拨】解这类题的关键是根据题中不等关系列不等式(组),再解这个不等式(组)即可获解。

例4 不等式 $ ( 1 - a ) x ＞ 1 - a ( a \neq 1 ) $ 的解集为当$a\lt1$时，$x\gt1$；当$a\gt1$时，$x\lt1$。

答案： 本题可根据不等式的性质，对$1 - a$的正负性进行分类讨论，进而求解不等式。
- **当$1 - a\gt0$时：
已知$1 - a\gt0$，解这个不等式$1 - a\gt0$，移项可得$a\lt1$。
此时不等式$(1 - a)x\gt1 - a$两边同时除以$1 - a$（因为$1 - a\gt0$，根据不等式的性质：不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变），得到$x\gt\frac{1 - a}{1 - a}$，即$x\gt1$。
- **当$1 - a\lt0$时：
已知$1 - a\lt0$，解这个不等式$1 - a\lt0$，移项可得$a\gt1$。
此时不等式$(1 - a)x\gt1 - a$两边同时除以$1 - a$（因为$1 - a\lt0$，根据不等式的性质：不等式两边同时除以同一个负数，不等号方向改变），得到$x\lt\frac{1 - a}{1 - a}$，即$x\lt1$。
综上，当$a\lt1$时，不等式的解集为$x\gt1$；当$a\gt1$时，不等式的解集为$x\lt1$。所以不等式$(1 - a)x\gt1 - a(a\neq1)$的解集为$\boldsymbol{x\gt1或x\lt1}$。

例5某校举行文艺演出，评出一等奖5人，二等奖10人，三等奖15人，学校决定给获奖同学发奖品，同一等次的奖品相同，并且只能从下列物品中选择一件：学校要求一等奖奖品单价是二等奖奖品单价的5倍，二等奖奖品单价是三等奖奖品单价的4倍，在总费用不超过1000元的前提下，有几种购买方案？花费最多的是哪一种方案？需要多少钱？
有2种购买方案；花费最多的是一等奖奖品选小提琴，二等奖奖品选笛子，三等奖奖品选相册这种方案，需要930元。

答案： 1. 设三等奖奖品单价为$x$元，则二等奖奖品单价为$4x$元，一等奖奖品单价为$20x$元：
根据总费用不超过$1000$元，可列不等式：$5×20x + 10×4x+15x\leqslant1000$。
化简不等式：
先计算$5×20x + 10×4x+15x=(100 + 40+15)x$，即$155x\leqslant1000$，解得$x\leqslant\frac{1000}{155}\approx6.45$。
因为$x$为正整数，且从表格中选择奖品：
当$x = 4$时，二等奖奖品单价$4x = 16$元，一等奖奖品单价$20x = 80$元；
当$x = 5$时（$x = 6$时，$4x = 24$，$20x=120$，$5×120 + 10×24+15×6=600 + 240+90 = 930\lt1000$也满足），$4x = 20$（表格中无$20$元奖品，舍去），$x = 6$时，$4x = 24$，$20x = 120$。
2. 确定购买方案：
方案一：
一等奖奖品选运动服（单价$80$元），二等奖奖品选口琴（单价$16$元），三等奖奖品选钢笔（单价$4$元）。
总费用$W_1=5×80 + 10×16+15×4=400 + 160+60 = 620$元。
方案二：
一等奖奖品选小提琴（单价$120$元），二等奖奖品选笛子（单价$24$元），三等奖奖品选相册（单价$6$元）。
总费用$W_2=5×120 + 10×24+15×6=600 + 240+90 = 930$元。
所以有$2$种购买方案，花费最多的是一等奖奖品选小提琴，二等奖奖品选笛子，三等奖奖品选相册这种方案，需要$930$元。