《2025年学力水平快乐假暑假八年级数学北师大版北京教育出版社》

7. 如图①,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置,∠C= 90°,∠B= ∠E= 30°.
Ⅰ. 操作发现
如图②,固定△ABC,使△DEC绕点C顺时针旋转.当点D恰好落在AB边上时,填空:
(1)线段DE与AC的位置关系是______DE//AC;
(2)设△BDC的面积为$S_1,△AEC$的面积为$S_2,$则$S_1$与$S_2$的数量关系是______$S_1=S_2$.
Ⅱ. 猜想论证
当△DEC绕点C旋转到图③所示的位置时,小明猜想Ⅰ中$S_1$与$S_2$的数量关系仍然成立,并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC,CE边上的高,垂足分别为点M,N,请你证明小明的猜想.

答案： 7. Ⅰ.
(1)$DE// AC$
解析:由旋转可知:$AC=DC.$
$\because ∠ACB=90^{\circ },∠B=∠DEC=30^{\circ },$
$\therefore ∠BAC=∠CDE=60^{\circ },$
$\therefore △ADC$是等边三角形,
$\therefore ∠ACD=60^{\circ }.$
又$\because ∠CDE=60^{\circ },$
$\therefore DE// AC.$
(2)$S_{1}=S_{2}$
解析:过点 D 作$DN⊥AC$交 AC 于点 N,过点 E 作$EM⊥AC$交 AC 延长线于点 M,过点 C 作$CF⊥AB$交 AB 于点 F.
由
(1)可知:$△ADC$是等边三角形,$DE//$AC,$\therefore DN=CF,DN=EM,$
$\therefore CF=EM.$
$\because ∠ACB=90^{\circ },∠B=30^{\circ },$
$\therefore AB=2AC.$
又$\because AD=AC,$
$\therefore BD=AC.$
$\because S_{1}=\frac {1}{2}CF\cdot BD,S_{2}=\frac {1}{2}AC\cdot EM,$
$\therefore S_{1}=S_{2}.$
Ⅱ. 证明:$\because ∠DCE=∠ACB=90^{\circ },$
$\therefore ∠DCM+∠ACE=180^{\circ }.$
又$\because ∠ACN+∠ACE=180^{\circ },$
$\therefore ∠ACN=∠DCM.$
又$\because ∠CNA=∠CMD=90^{\circ },AC=CD,$
$\therefore △ANC\cong △DMC,\therefore AN=DM.$
又$\because CE=CB,$
$\therefore S_{1}=S_{2}.$