《2025年学力水平快乐假暑假八年级数学北师大版北京教育出版社》

1. 区分分式和整式的唯一标准就是看分母是否含有表示

变

量

的字母；
探究1中$\frac {4x}{π-3}分母中的π$是一个数,而不是表示

变

量

的字母,所以它不是分式。

答案： 【解析】：根据分式和整式的定义，分式的分母中必须含有表示变量的字母，整式的分母不含有表示变量的字母。对于$\frac{4x}{\pi - 3}$，因为$\pi$是一个常数，不是表示变量的字母，所以它不符合分式的定义。
【答案】：字母；不是

2. (1)对于分式$\frac {A}{B}$,当$B\neq0$时,分式有意义；当$B = 0$时,分式无意义；
(2)当$A = 0$且$B\neq0$时,分式的值为零；
当分式的分母可分解为两个因式的积时,恰有$2$个值可以使分母的值为零。这时要特别小心使分式有无意义的值的取舍。

答案： 【解析】：本题可根据分式有意义、无意义以及值为零的条件来进行分析。
对于分式$\frac{A}{B}$，分式有意义的条件是分母不为$0$，即$B\neq0$；分式无意义的条件是分母为$0$，即$B = 0$。
分式的值为零的条件是分子为$0$且分母不为$0$，即$A = 0$且$B\neq0$。
当分式的分母可分解为两个因式的积时，因为每个因式都有可能为$0$，所以恰有$2$个值可以使分母的值为零。
【答案】：
(1)$B\neq0$；$B = 0$；
(2)$A = 0$且$B\neq0$；$2$

3. (1)探究3考查分式的基本性质和因式分解。
(2)分式约分、通分或进行乘法运算时,若分子、分母是多项式的怎么办？先因式分解
(3)确定几个分式的最简公分母,把握三点：
第一,分母是多项式的,要先因式分解；
第二,求各分母系数的最小公倍数,作最简公分母的系数；
第三,取各分母所有因式的最高次幂；
(4)分式运算的最后结果要化成最简分式。

答案： 【解析】：本题主要考查分式相关的重要知识点。对于（1），分式的基本性质是进行分式各种运算的基础，因式分解是对多项式进行处理以便于分式运算的重要手段，所以探究3考查分式的基本性质和因式分解；（2）当分式的分子、分母是多项式时，为了便于约分、通分或进行乘法运算，需要利用因式分解将多项式化为几个整式乘积的形式；（3）确定几个分式的最简公分母时，首先分母是多项式的要先因式分解，这样才能准确找到所有的因式，然后求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数，最后取各分母所有因式的最高次幂，这样得到的就是最简公分母；（4）分式运算的最后结果要化成最简分式，这是分式运算的基本要求，最简分式是指分子和分母没有公因式的分式。
【答案】：（1）基本性质；因式分解；（2）先因式分解；（3）先因式分解；最小公倍数；系数；最高次幂；（4）最简分式

4. (1)最简分式的标准是分子与分母没有公因式；
(2)约分中确定公因式有四步：①将分子分母分解因式；②取分子、分母系数的最大公约数；③取相同字母的最低次幂；④将这些取出来的部分相乘得到公因式。通分、约分的依据都是分式的基本性质,约分是为了化简分式,通分是为了将异分母分式化为同分母分式。

答案： 【解析】：
（1）最简分式是一个分式的分子与分母没有公因式，所以最简分式的标准是分子与分母没有公因式。
（2）约分中确定公因式的步骤：首先将分子分母分解因式，然后取分子、分母系数的最大公约数，再取相同字母的最低次幂，最后将这些取出来的部分相乘得到公因式。通分、约分的依据都是分式的基本性质，约分是把一个分式化成最简分式，所以是为了化简分式；通分是把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，所以是为了将异分母分式化为同分母分式。
【答案】：（1）分子与分母没有公因式；（2）取分子、分母系数的最大公约数；取相同字母的最低次幂；将这些取出来的部分相乘得到公因式；分式的基本性质；化简分式；将异分母分式化为同分母分式

5. 分式中的分子、分母大多都是多项式,在运算中,要对分子、分母中的多项式因式分解,这样便于确定分子、分母的公因式或各分母的最简公分母；在分式运算过程中,有时需要给分子、分母添上括号,为什么这样做？

答案： 【解析】：在分式运算中，当分子、分母是多项式时，对多项式进行因式分解，能更清晰地看出分子、分母的公因式，进而便于约分以及确定最简公分母。而在分式运算过程中，给分子、分母添上括号，主要是为了改变运算顺序，避免出现计算错误，特别是在有加减法和乘除法混合运算时，合理添加括号可以保证运算的准确性。
【答案】：因式分解；公因式

6. (1)混合运算要按照正确的顺序和运算法则,选取适当的方法计算,最后结果要化为最简形式,特别要注意正负号的变化；
(2)探究分式化简求值题先约分后通分；探究有理数混合运算中的简便计算题先利用分配律。

答案： 【解析】：对于（1），混合运算的结果通常要化为最简形式，这样能保证结果的规范性和准确性；对于（2），在分式运算中，分式化简求值题一般先约分后通分，这样可以简化计算过程，而有理数混合运算中的简便计算题先利用分配律能使计算更简便。
【答案】：（1）最简形式；（2）分式化简求值；有理数混合运算中的简便计算

7. 需要分类讨论的是探究分式值为零的条件,运用转化思想的是探究分式的混合运算,在分式加减乘除过程中,把多项式的分子、分母括起来,体现了怎样的数学思想？整体思想

答案： 【解析】：对于探究需要分类讨论的情况，通常是在一些情况不唯一，不同情况有不同结果时需要分类讨论，比如分式值为零的情况，要考虑分子为零且分母不为零等不同情况；运用转化思想的，是把复杂的问题转化为简单的问题，分式的混合运算就是把分式的复杂运算转化为我们熟悉的整式运算等。在分式加减乘除过程中，把多项式的分子、分母括起来，是为了明确运算的范围和顺序，体现了整体思想，将多项式的分子、分母看成一个整体来进行运算。
【答案】：分式值为零的条件；分式的混合运算；整体思想